Mam takie zadanie:
1) Trwałość produkowanych lamp jest zmienną losową o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} xe^{- \frac{x^{2} }{2} } \ , \ x>0 \\ 0 \ , \ x \le 0 \end{cases}}\)
a) Obliczyć z jakim prawdopodobieństwem występuje trwałość większa od mody.
robię tak:
liczę modę
f'(x) = 0
\(\displaystyle{ f'(x) = (xe^{- \frac{x^{2} }{2} } )' = e^{ - \frac{ x^{2} }{2} } \cdot (1 - x^{2})}\)
\(\displaystyle{ 1-x^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ x = \pm 1}\)
po narysowaniu wykresu zostaje tylko 1 bo dla X=1 jest ekstremum
teraz chcę obl. to prawdopodopienstwo:
\(\displaystyle{ P(X>1) = \int_{1 }^{ \infty } xe^{- \frac{x^{2} }{2} } ...\\}\)
\(\displaystyle{ - \frac{x^{2}}{2} = t\\
- x \cdot dx = dt\\
dx = - \frac{1}{x} \cdot dt\\
... = \int_{1 }^{ \infty } - e^{t} \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot dt = e^{t}}\)
i teraz tu są granice od 1 do nieskończoności ale z racji tego że jest minus przed całką to odwracamy granice i wychodzi od \(\displaystyle{ - \infty}\) do 1 ale z treści zad.wynika że x > 0, wię granice to: od 0 do 1, więc końcowy wynik to:
\(\displaystyle{ 1 - e}\)
czy dobrze to jest?
zmienne losowe ciągłe
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 14 paź 2009, o 15:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
zmienne losowe ciągłe
Ten wynik nie jest prawidłowy - prawdopodobieństwo nie może być liczbą ujemną. Jak wiesz musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ < 0, \ 1 >.}\)
Błąd w obliczeniu całki niewłaściwej:
Podstawienia np:
\(\displaystyle{ -\frac{x^2}{2} = t, xdx = -dt}\)
granice całkowania dla zmiennej \(\displaystyle{ t:}\)
od \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ -\infty}\)
Wynik:
\(\displaystyle{ P(X > 1) = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}}\)
Błąd w obliczeniu całki niewłaściwej:
Podstawienia np:
\(\displaystyle{ -\frac{x^2}{2} = t, xdx = -dt}\)
granice całkowania dla zmiennej \(\displaystyle{ t:}\)
od \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ -\infty}\)
Wynik:
\(\displaystyle{ P(X > 1) = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 14 paź 2009, o 15:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
zmienne losowe ciągłe
a nie powinno być przed:
\(\displaystyle{ e^{-\frac{1}{2}}}\)
minusa bo tak wynika z wyliczen? tylko żę wtedy będzie prawdopodobieństwo ujemne, jak to rozsądzić?
bo przecież na skutek minusa przed całką nastąpiło odwrócenie granic
jeszcze jedno: jak miałem za t podstawić \(\displaystyle{ - \infty}\) to to po prostu znika?
bo normalnie bym robił tak:
\(\displaystyle{ e^{- \infty } - e^{- \frac{1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ e^{-\frac{1}{2}}}\)
minusa bo tak wynika z wyliczen? tylko żę wtedy będzie prawdopodobieństwo ujemne, jak to rozsądzić?
bo przecież na skutek minusa przed całką nastąpiło odwrócenie granic
jeszcze jedno: jak miałem za t podstawić \(\displaystyle{ - \infty}\) to to po prostu znika?
bo normalnie bym robił tak:
\(\displaystyle{ e^{- \infty } - e^{- \frac{1}{2} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
zmienne losowe ciągłe
\(\displaystyle{ P(X > 1) = - \int_{-\frac{1}{2}}^{-\infty} e^{t}dt = - \lim_{a \to -\infty } e^{a} + e^{-\frac{1}{2}} = 0 + e^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}}.}\)