zmienne losowe ciągłe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Michaell65
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 14 paź 2009, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

zmienne losowe ciągłe

Post autor: Michaell65 »

Mam takie zadanie:

1) Trwałość produkowanych lamp jest zmienną losową o gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} xe^{- \frac{x^{2} }{2} } \ , \ x>0 \\ 0 \ , \ x \le 0 \end{cases}}\)

a) Obliczyć z jakim prawdopodobieństwem występuje trwałość większa od mody.

robię tak:

liczę modę

f'(x) = 0

\(\displaystyle{ f'(x) = (xe^{- \frac{x^{2} }{2} } )' = e^{ - \frac{ x^{2} }{2} } \cdot (1 - x^{2})}\)

\(\displaystyle{ 1-x^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ x = \pm 1}\)

po narysowaniu wykresu zostaje tylko 1 bo dla X=1 jest ekstremum

teraz chcę obl. to prawdopodopienstwo:



\(\displaystyle{ P(X>1) = \int_{1 }^{ \infty } xe^{- \frac{x^{2} }{2} } ...\\}\)
\(\displaystyle{ - \frac{x^{2}}{2} = t\\
- x \cdot dx = dt\\
dx = - \frac{1}{x} \cdot dt\\

... = \int_{1 }^{ \infty } - e^{t} \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot dt = e^{t}}\)



i teraz tu są granice od 1 do nieskończoności ale z racji tego że jest minus przed całką to odwracamy granice i wychodzi od \(\displaystyle{ - \infty}\) do 1 ale z treści zad.wynika że x > 0, wię granice to: od 0 do 1, więc końcowy wynik to:

\(\displaystyle{ 1 - e}\)

czy dobrze to jest?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

zmienne losowe ciągłe

Post autor: janusz47 »

Ten wynik nie jest prawidłowy - prawdopodobieństwo nie może być liczbą ujemną. Jak wiesz musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ < 0, \ 1 >.}\)
Błąd w obliczeniu całki niewłaściwej:
Podstawienia np:
\(\displaystyle{ -\frac{x^2}{2} = t, xdx = -dt}\)
granice całkowania dla zmiennej \(\displaystyle{ t:}\)
od \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ -\infty}\)
Wynik:
\(\displaystyle{ P(X > 1) = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}}\)
Michaell65
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 14 paź 2009, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

zmienne losowe ciągłe

Post autor: Michaell65 »

a nie powinno być przed:

\(\displaystyle{ e^{-\frac{1}{2}}}\)

minusa bo tak wynika z wyliczen? tylko żę wtedy będzie prawdopodobieństwo ujemne, jak to rozsądzić?

bo przecież na skutek minusa przed całką nastąpiło odwrócenie granic



jeszcze jedno: jak miałem za t podstawić \(\displaystyle{ - \infty}\) to to po prostu znika?

bo normalnie bym robił tak:

\(\displaystyle{ e^{- \infty } - e^{- \frac{1}{2} }}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

zmienne losowe ciągłe

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ P(X > 1) = - \int_{-\frac{1}{2}}^{-\infty} e^{t}dt = - \lim_{a \to -\infty } e^{a} + e^{-\frac{1}{2}} = 0 + e^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}}.}\)
ODPOWIEDZ