prawdopodobień całkowite

[Michaell65]

Proszę o sprawdzenie moich rozwiązań.

1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie 100 żarówek wziętych losowo z 1000 żarówek będzie zdanych do użytku, skoro wiadomo, że na 1000 sztuk ilość żarówek popsutych może być równa z tym samym prawdopodobieństwem, którejkolwiek z liczb od 0 do 5.

\(\displaystyle{ A_{0} , A_{1}, ... , A_{5}}\) - zd. w którym losujemy 100 żarówek z 1000

\(\displaystyle{ P(B|A_{0}) = 1}\) (0 zlych)
\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = 0,999}\) (1 zlych)
\(\displaystyle{ P(B|A_{2}) = 0,998}\) (2 zlych)
\(\displaystyle{ P(B|A_{3}) = 0,997}\) (3 zlych)
\(\displaystyle{ P(B|A_{4}) = 0,996}\) (4 zlych)
\(\displaystyle{ P(B|A_{5}) = 0,995}\) (5 zlych)

B - zd. w którym wszystkie wybrane żarówki są dobre

\(\displaystyle{ P(A_{0}),P(A_{1}),...,P(A_{5}) = 0,1}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 1 \cdot 0,1 + 0,999 \cdot 0,1 + ... + 0,995 \cdot 0,1 = 0,5985}\)


2. Do samolotu oddano trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale równe jest 0,4; przy drugim 0,5; a przy trzecim 0,7. Wiadomo, że po trzech trafieniach samolot zostanie zniszczony, po jednym lub dwóch trafieniach może on zostać zniszczony z prawd. odpowiednio 0,2 i 0,6. Oblicz prawd. zniszczenia samolotu trzema strzałami.

\(\displaystyle{ A_{1}}\) - trafienie przy pierwszym strzale
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - trafienie przy drugim strzale
\(\displaystyle{ A_{3}}\) - trafienie przy trzecim strzale

\(\displaystyle{ P(A_{1}) = 0,4}\)
\(\displaystyle{ P(A_{2}) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ P(A_{3}) = 0,7}\)

\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = 0,2}\) - po 1 trafieniu
\(\displaystyle{ P(B|A_{2}) = 0,6}\) - po 2 trafieniach
\(\displaystyle{ P(B|A_{3}) = 1}\) - po 3 trafieniach

B - zd. zniszczenia samolotu

\(\displaystyle{ P(A_{3}|B) = \frac{P(B|A_{3}) \cdot P(A_{3})}{P(B)}}\)


3. Wiadomo, że 96% produkcji amperomierzy jest zgodne ze standardem. Uproszczony schemat kontroli przepuszcza amperomierze dobre z prawdopodobieństwem 0,98 ; a wadliwe z prawd. 0,05. Oblicz prawd., że amperomierz, który uproszczona kontrola przepuściła, jest zgodny ze standardem.

\(\displaystyle{ A_{1}}\) - dobry amperomierz
\(\displaystyle{ A_{1}}\) - zły amperomierz

\(\displaystyle{ P(A_{1}) = 0,96}\)
\(\displaystyle{ P(A_{2}) = 0,04}\)

B - amperomierz zgodny przepuszczony przez kontrolę jest zgodny ze standardem


\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = 0,98}\) - przepuszczenie dobrego amperomierza
\(\displaystyle{ P(B|A_{2}) = 0,05}\) - przepuszczenie złego amperomierza

\(\displaystyle{ P(B) = 0,96 \cdot 0,98 + 0,04 \cdot 0,95 = 0,978}\)

[mat_61]

Do zadania 1)

\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = 0,999}\) (1 zlych)

Losujemy 100 żarówek a nie 1. Skoro jedna na 1000 jest zepsuta, to wg mnie powinno być:

\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = \frac{ {999 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} }=...}\)

Analogicznie pozostałe p-stwa

Dlaczego wg Ciebie:

\(\displaystyle{ P(A_{0}),P(A_{1}),...,P(A_{5}) = 0,1}\)

Przecież musi być spełniony warunek:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{5} P(A_{i})=1}\)

-- 15 sty 2012, o 20:22 --

Do zadania 2)

Z pewnością nie jest dobrze, ponieważ:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} P(A_{i})=1,6}\)

Przeanalizuj jeszcze raz treść zadania (*). Odpowiednie zdarzenia to:

\(\displaystyle{ A_{1}}\): trafienie samolotu jeden raz (a nie za pierwszym razem), czyli może być:
- I strzał trafiony, II i III nietrafione lub
- II strzał trafiony, I i III nietrafione lub
- III strzał trafiony, II i I nietrafione

\(\displaystyle{ A_{2}}\): trafienie samolotu dwa razy

\(\displaystyle{ A_{3}}\): trafienie samolotu trzy razy

Oczywiście na koniec wzór na p-stwo całkowite.

(*) Wyobraź sobie, że w kierunku samolotu wystrzelono trzy rakiety dalekiego zasięgu. Wszystkie zmierzają w kierunku samolotu. Każda może trafić z podanym prawdopodobieństwem. W samolot może trafić jedna z wystrzelonych rakiet, dwie z nich lub wszystkie trzy. Przy podanych ilościach trafień samolot zostanie zniszczony z podanym p-stwem (trafienie w samolot nie jest równoznaczne z jego zniszczeniem - chyba, że trafimy trzy razy).

[Michaell65]

1) to jaki bedzie prawidłowy opis zdarzeń A1,...,A5 i jakie będą ich wartoś prawdopodobieństw?

[mat_61]

Raczej \(\displaystyle{ A_{0} \ do \ A_{5}}\). Opis może być. Natomiast p-stwa łatwo obliczyć skoro zgodnie z treścią zadania mają być równe a ich suma musi być równa 1. Jakie jest p-stwo, że np. będą 3 zepsute żarówki?

Wyobraź sobie, że masz 6 pudełek. W każdym jest 1000 żarówek, z tym, że w kolejnych pudełkach jest 0, 1, 2, 3, 4, 5 żarówek zepsutych. Z losowo wybranego pudełka wybierasz 100 żarówek. Jakie jest p-stwo, że wszystkie wybrane żarówki będą dobre.

Do zadania 3)

Obliczenia są OK (choć nie są zakończone).

Zdarzenie B, to nie jest jak napisałeś:

B - amperomierz zgodny przepuszczony przez kontrolę jest zgodny ze standardem

Zdarzenie B oznacza amperomierz przepuszczony przez kontrolę. Wśród takich amperomierzy może się zdarzyć także amperomierz zepsuty, bo kontrola przepuszcza takie z p-stwem \(\displaystyle{ 0,05}\).

Ty masz obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że amperomierz przepuszczony przez kontrolę jst faktycznie dobry, czyli \(\displaystyle{ P(A_{1}/B)=...}\)

[Michaell65]

1) nie mam pojęcia już jak ma być dla tego że będą 3 żarówki zepsute.

czyli prawd. dla wszystkich A równają się 1/6

-- 15 sty 2012, o 21:27 --

czyli, będzie :

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{6} \cdot \frac{ {995 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } + \frac{1}{6} \cdot \frac{ {996 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } + \frac{1}{6} \cdot \frac{ {997 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } + \frac{1}{6} \cdot \frac{ {998 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } + \frac{1}{6} \cdot \frac{ {999 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } + \frac{1}{6} \cdot \frac{ {1000 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} }}\)

??

[mat_61]

Tak.

[Michaell65]

a dla tych 3 zepsutych?

mam tylko pomysł na poczatek:

\(\displaystyle{ P(3 zepsute wsród 100)= 0 + 0 + 0 + (1 - \frac{1}{6} \cdot \frac{ {997 \choose 100} }{ {1000 \choose 100} } )}\)

ale to też chyba jest źle bo przeciwne prawdopodobieźstwo mówi dla A3, że mogą być 1,2 lub 3 elementy złe.

[mat_61]

Może moje pytanie - jako pytanie pomocnicze - było mało precyzyjne ale dokładnie powinno brzmieć:

Jakie jest p-stwo, że wśród 1000 żarówek będą 3 zepsute. Odpowiedź to oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).

Liczenie p-stwa, że na 100 wylosowanych żarówek 3 będą zepsute, to inne zadanie i nie wiem czy teraz masz ochotę je analizować? Rozwiązanie co do zasady będzie takie samo, tylko będą inne wartości \(\displaystyle{ P(B/A_{i})}\)

[Michaell65]

pewnie jutro się zajmę tym odrębnym zadaniem.

a jeszcze nie bardzo rozumiem "Jakie jest p-stwo, że wśród 1000 żarówek będą 3 zepsute. Odpowiedź to oczywiście 1/6." dlaczego?

nie raczej 3/6?

[mat_61]

Bo zgodnie z treścią zadania z jednakowym p-stwem wśród 1000 żarówek może być:

- 0 zepsutych żarówek, albo
- 1 zepsuta żarówka, albo
- 2 zepsute żarówki, albo
- 3 zepsute żarówki, albo
- 4 zepsute żarówki, albo
- 5 zepsutych żarówek.

Jak widać 3 zepsute żarówki wśród 1000, to jedna z sześciu możliwości, a skoro wszystkie p-stwa mają być takie same to wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).

Teraz to jest jasne?

[Michaell65]

ok, czyli chodzi, że o to że mają być dokładnie 3 zepsute, nie więcej.

bo ja to tak zrozumiałem że jeżeli wśród 1000 żarówek jest np. 5 żarówek to znaczy, że wśród nich mogą być 3 zepsute.

[mat_61]

Tak, chodzi o dokładnie trzy zepsute żarówki.