prawdopodobieństwo geometryczne.

[Michaell65]

1. W punkcie \(\displaystyle{ C}\), którego położenie na linii telefonicznej \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ L}\) jest wszędzie jednakowo możliwe, nastapiło przerwanie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że punkt \(\displaystyle{ C}\) oddalony jest od punktu \(\displaystyle{ A}\) nie mniej niż o \(\displaystyle{ l}\).

Mam takie zadanie, proszę o sprawdzenie poprawności mojego rozumowania.

Zdarzenie \(\displaystyle{ A = L - l}\)
\(\displaystyle{ \Omega = L}\)

czyli prawdopodobieństwo to:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{L-l}{L}}\)

2. Na taśmę magnetofonową o długości \(\displaystyle{ 200\mbox{ m}}\) użytkownik chce nagrać pewien tekst o długości \(\displaystyle{ 25\mbox{ m}}\). Początek nagrania wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że cały tekst zmieści sie na taśmie?

\(\displaystyle{ A = 200 - 25 = 175\\
\Omega = 200}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{175}{200}}\)

3. Na jednej ścieżce taśmy magnetofonowe o dł. \(\displaystyle{ 200\mbox{ m}}\) nagrano pewną informację na dł. \(\displaystyle{ 20\mbox{ m}}\), na drugiej ścieżce nagrano tą samą informację. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w przedziale \(\displaystyle{ 60\mbox{ m}}\) do \(\displaystyle{ 85\mbox{ m}}\) nie będzie odcinaka tasmy nie zawierającego nagrania. Zakładamy przy tym, że początki obu nagrań są jednakowo możliwe w każdym punkcie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 180\mbox{ m}}\).

\(\displaystyle{ A = (84-41) \cdot 2 = 86\\
P(A) = \frac{86}{200}}\)

[mat_61]

1) 2) OK

3) Źle

a) Początek nagrania może być na odcinku \(\displaystyle{ 180m}\) a nie \(\displaystyle{ 200m}\)
b) Nagranie będzie w podanym przedziale jeżeli na dowolnej ścieżce jego początek zacznie się później niż na \(\displaystyle{ 40}\) metrze i wcześniej niż na \(\displaystyle{ 85}\) metrze (co przecież nie oznacza odpowiednio \(\displaystyle{ 41}\) metra i \(\displaystyle{ 84}\) metra).
c) Uwzględnienie nagrania informacji na dwóch ścieżkach nie może polegać na tym, że długość przedziału początku nagrania mnożysz przez dwa. Zauważ, że jeżeli ten przedział byłby większy niż połowa całej długości gdzie może znaleźć się początek nagrania to wówczas p-stwo byłoby większe od 1.
Powinieneś policzyć p-stwo tego, że początek co najmniej jednego z tych nagrań znajdzie się w odpowiednim przedziale. Ewentualnie możesz skorzystać z p-stwa zdarzenia przeciwnego.

[Michaell65]

b) początek nagrania musi być po 40, czyli najwcześniej na 41 minucie, a końcowy 85, więc nagranie ma możliwość zacząć się na odcinku równym 44 minuty, bo w innym przypadku nie znajdzie się w tym przedziale określonym.
c) teraz pytanie jak obliczyć prawd. dla conajmniej jednego? bo to oznacza, że albo dla jednej zajdzie albo dla dwóch ścieżek.

korzystam z wzoru na sumę prawdopodobieństw.



\(\displaystyle{ P(A) = \frac{44}{180} + \frac{44}{180} - \frac{44}{180} * \frac{44}{180}}\)

?

[mat_61]

b) początek nagrania musi być po 40, czyli najwcześniej na 41 minucie, więc nagranie ma możliwość zacząć się na odcinku równym 44 minuty, bo w innym przypadku nie znajdzie się w tym przedziale określonym

To nie jest tak.
Co to znaczy na 41 minucie?. Narysuj sobie oś liczbową i zaznacz na niej odpowiednie liczby a następnie odcinek na którym musi się znaleźć początek nagrania. Jaka jest długość tego odcinka?
Jeżeli nagranie rozpocznie się np. w punkcie \(\displaystyle{ 40,001}\), to na odcinku \(\displaystyle{ <60;85>}\)(*) będzie coś nagrane?

c) sposób rozwiązania jest poprawny

(*) czy przedział będzie zamknięty czy otwarty, to nie ma to znaczenia, bo długość tego przedziału będzie taka sama?

[Michaell65]

narysowałem i wyszło mi, że odcinek na którym ma być nagrane będzie w przedziale :
<40 ; 85>

ponieważ, jeżeli na 40 minucie coś zostanie nagrane (początek) no to również na 60 wtedy będzie (koniec)

jeżeli się zacznie w 40,001 to na 60,001 będzie koniec, więc będzie w tym przedziale.

właśnie tu nie wiem, już się zamieszałem, jak to będzie z długością tego odcinka gdy jest przedział otwarty, akiedy zamknięty?
Według mnie w tym przypadku będzie zamknięty.

[mat_61]

narysowałem i wyszło mi, że odcinek na którym ma być nagrane będzie w przedziale :
<40 ; 85>

OK (precyzyjniej, to początek nagrania ma być w tym przedziale).

...już się zamieszałem, jak to będzie z długością tego odcinka gdy jest przedział otwarty, a kiedy zamknięty?
Według mnie w tym przypadku będzie zamknięty.

Nie ma to praktycznego znaczenia dla obliczeń, bo - tak jak napisałem Ci wcześniej - długość odcinka nie zmienia się przy zmianie przedziału z otwartego na zamknięty.
Poza tym w treści zadania użyte zostało słowo przedział bez określenia jego rodzaju.