Witam
Potrzebuję pomocy z indukcyjnym udowodnieniem, że rozkład sumy n niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ wynosi Γ(λ, n).
Do czego doszedłem?
Niech \(\displaystyle{ f_{S_1}}\) oznacza gęstość pojedynczej zmiennej, a \(\displaystyle{ f_{S_n}}\) oznacza gęstość sumy n zmiennych.
Łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda , 1) = \lambda e^{-\lambda x}}\), czyli gęstości zmiennej o rozkładzie wykładniczym. Zatem mamy założenie indukcyjne, że \(\displaystyle{ f_{S_{n}} = \Gamma(\lambda , n)}\).
Teraz pozostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ f_{S_{n+1}}(x) = \int_{0}^{x}{f_{S_{n}}(t)*f_{1}(x-t)dt}}\), czyli że splot gęstości \(\displaystyle{ f_{S_n}}\) i \(\displaystyle{ f{S_1}}\) jest równy \(\displaystyle{ f_{S_{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}{f_{S_{n}}(t)*f_{1}(x-t)dt}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}{ \frac{\lambda^{n} t^{n-1} e^{-\lambda t} \lambda e^{-\lambda (x-t)}}{\Gamma(t)} dt}}\)
\(\displaystyle{ \lambda^{n+1}e^{-\lambda x}\int_{0}^{x}{\frac{t^{n-1}}{\Gamma(t)} dt}}\)
Jako że mam udowodnić, że \(\displaystyle{ f_{S_{n+1}} = \Gamma(\lambda, n+1) = \frac{\lambda^{n+1}x^{n}e^{-\lambda x}}{\Gamma(n+1)}}\) chciałbym, żeby
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}{\frac{t^{n-1}}{\Gamma(t)} dt}}\) wynosiło \(\displaystyle{ \frac{x^{n}}{\Gamma(n+1)}}\), lecz nie wiem jak to pokazać. Być może gdzieś popełniłem błąd w przekształceniach?