Dystrybuanta funkcji gęstości

[Salet007]

Mam problem z zadaniem z metod statystycznych, będę wdzięczny za pomoc.

Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0.4x \ dla \ 0 \le x<2\\ 0.3 \ dla \ 2 \le x<4 \\ 0 \ poza \ tym \end{cases}}\)
Wyznaczyć dystrybuantę, medianę i wartość przeciętną.

Póki co wyznaczyłem dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \ dla \ x<0 \\ \int_{0}^{x} 0.4t \ dt = 0.2 x^{2} \ dla \ 0 \le x<2 \\ \int_{0}^{2} 0.4t \ dt + \int_{2}^{x} 0.3 \ dt = 0.3x + 0.2 \ dla \ 2 \le x<4 \end{cases}}\)

Czy to jest dobrze? Wydaje mi się, że nie, bo maksimum dystrybuanty to 1, a podstawiając np. 4 wychodzi więcej niż 1. Ale nie potrafię znaleźć błędu.

[szw1710]

Pole pod krzywą \(\displaystyle{ f}\) wynosi \(\displaystyle{ 1.4}\), więc nie jest to funkcja gęstości. Dystrybuantę wyznaczasz poprawnie, lecz zobacz czy nie masz pomyłki w danych (na pewno masz). Ile wynosi pole pod wykresem funkcji gęstości?

[Salet007]

Pole pod wykresem f. gęstości powinno wynosić 1.

To zadanie miałem wczoraj na kolokwium i przepisane jest na pewno dobrze (zrobiłem zdjęcie kartki). Może to było zadanie podchwytliwe?
Abstrahując od tego, chciałbym jeszcze policzyć tę medianę i wartość przeciętną, ale nie wiem jak postąpić gdy f. gęstości określona jest na dwóch przedziałach.

AU

1766cc09eb79f1d22d73e847588207ba.png (1.12 KiB) Przejrzano 166 razy

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{2}0.4x^2 \ dx + \int_{2}^{4}0.3x \ dx}\)

A dla mediany rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ 0.3x + 0.2 = 0.5}\)

Dobrze kombinuję?-- 15 sty 2012, o 23:21 --Ktoś wie czy to wyżej zrobiłem dobrze?

I mam jeszcze problem z jednym zadaniem z testowania hipotez:

W 10 wylosowanych gminach zbadano liczbę zlikwidowanych firm usługowych w 2000r. Średnia liczba zlikwidowanych firm w tych gminach wynosiła 4,8 a odchylenie standardowe 3,82. Czy na poziomie istotności 0,05 można stwierdzić, że liczba zlikwidowanych firm różni się od średniej arytmetycznej o więcej niż 5 firm (wariancja jest większa niż 25)? Przyjmij, że rozkład likwidowanych firm jest normalny. Należy sformułować hipotezę zerową i alternatywną, wyznaczyć obszar krytyczny, obliczyć wartość odpowiednio dobranej statystyki, odpowiedzieć na postawione pytanie.

Nie wiem czy powinienem użyć statystyki chi-kwadrat (test wariancji) czy U (bo rozkład jest normalny). Ponadto, czy takie hipotezy są poprawne?
H0: wariancja = 25
H1: wariancja > 25