Witajcie,
załóżmy, że mam zmienne losowe \(\displaystyle{ x_{n}}\) które mają rozkład jednostajny na odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\). Niech \(\displaystyle{ S_{n}= \frac{1}{n} * [ X_{1} + ... + X_{n} ]}\). Należy oszczacować z nierówności Czebyszewa prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P=( |S_{n}-E( S_{n})|< \frac{1}{12})}\).
Generalnie w zadaniu mam mały problem. Doznałem zaćmienia i nie wiem jaka jest wariancja \(\displaystyle{ S_{n}}\). Mając wariancje poradze sobie z Czebyszewem. Prosiłbym o wskazanie drogi jak policzyć wariancje
---------------------------------------------------------------------------------------------
Edited:
Problem rozwiazany.
zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{n}}\) ma rozklad na odcinku [0,1] wiec zgodnie ze wzorami \(\displaystyle{ E(X)= \frac{1}{2} oraz Var(X)= \frac{1}{12}}\). Pamiętamy, że \(\displaystyle{ S_{n}= \frac{1}{n}( X_{1}+...+ X_{n})}\) zatem korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ Var(aX)= a^{2}*Var(X)}\). W naszym przypadku \(\displaystyle{ Var( S_{n}) = \frac{n}{12 n^{2} }}\).
Nierówność Czebyszewa jest zatem tylko formalnością