rozkład x+y sploty

[Natalka1989]

zmienne x,y są niezależne i każda ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1] . Znajdź rozkład zminnej x+y

czyli gęstość
\(\displaystyle{ g_x (x) = 1_{[0,1]}(x), g_y (y) =1_{[0,1]}(y)}\)
\(\displaystyle{ g_{(x+y)}= \int_{- \infty }^{ \infty }g_x(t-x)*g_y(x)dx}\)
\(\displaystyle{ g_{(x+y)}= \int_{0 }^{ t}1*1dx=x I ^t_0=t}\) dla t>0
czy to jest prawidłowe rozwiązanie?

[norwimaj]

To nie może być dobre rozwiązanie, skoro całka z gęstości jest nieskończona.

Pomyśl nad granicami całkowania. Jakie nierówności muszą być spełnione, żeby \(\displaystyle{ g_x(t-x)\cdot g_y(x)=1}\)?

Jako symbolu mnożenia używaj "\(\displaystyle{ \cdot}\)", czyli cdot, zwłaszcza gdy oprócz mnożenia w zadaniu pojawia się splot.

[Natalka1989]

y oraz x muszę należeć to przedziału [0,1]
ale nie wiem jak to wykorzystać żeby zmienić granice calkowania

[norwimaj]

Faktycznie coś musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), ale żadnego \(\displaystyle{ y}\) w tamtym napisie nie widzę.

[Natalka1989]

czyli x oraz t-x muszą należeć do [0,1] skoro
t-x>0 czyli t>x
t-x<1 czyli t-1<x

[norwimaj]

czyli x oraz t-x muszą należeć do [0,1]

Tak jest.

skoro
t-x>0 czyli t>x
t-x<1 czyli t-1<x

To są warunki na \(\displaystyle{ t-x}\). Mówią one, że \(\displaystyle{ x\in [t-1,t]}\). (jeśli przedział ma być domknięty, to nierówności powinny być nieostre)

Do tego jeszcze trzeba dorzucić warunek na \(\displaystyle{ x}\), czyli \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\). Czyli łącznie mamy \(\displaystyle{ x\in[\max(0,t-1), \min(1,t)]}\).

[Natalka1989]

dla t<1 max(0,t-1) = 0
dla t>1 max(0,t-1)=t-1

dla t<1 min(1,t) =t
dla t>1 min(1,t)=1

łącząc wychodziłoby że dla t<1 rozpatrujemy na przedziale 0,t
a dla t>1 w przedziale t-1 ,1

ale chyba trzeba jeszcze zwrócić uwagę że t-1<x <1 czyli t<2 oraz t>x >0 czyli t>0
zatem czy należy rozpatrzeć
\(\displaystyle{ \begin{cases} \int_{0}^{t}1=t \ t \in ( 0,1)\\ \int_{t-1}^{1}1=1-t+1=-t+2 \ t \in (1,2)\\
0 \ wpp
\end{cases}}\)