Zm. losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2,...}\) są niezależnymi zmiennymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0, 1)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } P((X_1X_2...X_n)^{1/n} \le \frac{1}{2})}\).
Nie mogę poradzić sobie z tym zadaniem. Znalazłam je w zb. po dziale dotyczącym twierdzen granicznych, stad mój wniosek w temacie..
Z góry dziekuje za wszelkie wskazówki
Zastosowanie twierdzen granicznych
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Zastosowanie twierdzen granicznych
W tej sytuacji zmienne \(\displaystyle{ \ln(X_{i})}\) są całkowalne, czyli (z mocnego prawa wielkich liczb)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(X_{i}) \stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} \mathbb{E} \ln(X_{1}) = -1}\)
prawie wszędzie. Oczywiście zbieżność prawie wszędzie implikuje zbieżność według rozkładu, a \(\displaystyle{ -1< - \ln(2)}\), czyli odpowiedź to 1 (o ile się gdzieś nie pomyliłem).
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(X_{i}) \stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} \mathbb{E} \ln(X_{1}) = -1}\)
prawie wszędzie. Oczywiście zbieżność prawie wszędzie implikuje zbieżność według rozkładu, a \(\displaystyle{ -1< - \ln(2)}\), czyli odpowiedź to 1 (o ile się gdzieś nie pomyliłem).