Witam mam problem z policzeniem wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ e^{X}}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny o parametrach \(\displaystyle{ 0 , \sqrt{\alpha}}\) . Wiem, że jest ona równa z definicji :
\(\displaystyle{ E(e^{X}) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \alpha } } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{x} e^{ \frac{-x^{2}}{2 \alpha } }dx }}\).
Nie wiem jak sie zabrać do tej całki. Może ktoś dobry i miły rozpisze mi to.
wartość oczekiwana. jak policzyć trudną całkę ?
wartość oczekiwana. jak policzyć trudną całkę ?
z jakich tablic ??-- 7 sty 2012, o 16:23 --Dobra, wpadłem na to jedząc obiad. Idea nie różni się zbytnio od dowodu, iż gęstość rozkładu normalnego jest dobrze zdefiniowana :
\(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \pi \alpha } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2}{2 \alpha }+x } dx \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-y^2}{2 \alpha }+y } dy = \frac{1}{2 \pi \alpha } e^{ \alpha } \int_{- \infty }^{+ \infty } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2+2 \alpha x+ \alpha ^{2}-y^2+2 \alpha y- \alpha ^{2} }{2 \alpha } }dxdy =\left| x-t = rcos( \beta ), y -t = rsin( \beta ) \right| = \frac{1}{2 \pi \alpha } e^{ \alpha } \int_{0 }^{2 \pi } \int_{- \infty }^{+ \infty } r e^{ \frac{ -r^{2} }{2 \alpha } } drd \beta = e^{ \alpha }}\)
więc szukana całka jest równa :
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \alpha } } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2}{2 \alpha }+x } dx = \sqrt{ e^{ \alpha } } = e^{ \frac{ \alpha }{2} } .}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \pi \alpha } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2}{2 \alpha }+x } dx \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-y^2}{2 \alpha }+y } dy = \frac{1}{2 \pi \alpha } e^{ \alpha } \int_{- \infty }^{+ \infty } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2+2 \alpha x+ \alpha ^{2}-y^2+2 \alpha y- \alpha ^{2} }{2 \alpha } }dxdy =\left| x-t = rcos( \beta ), y -t = rsin( \beta ) \right| = \frac{1}{2 \pi \alpha } e^{ \alpha } \int_{0 }^{2 \pi } \int_{- \infty }^{+ \infty } r e^{ \frac{ -r^{2} }{2 \alpha } } drd \beta = e^{ \alpha }}\)
więc szukana całka jest równa :
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \alpha } } \int_{- \infty }^{+ \infty } e^{ \frac{-x^2}{2 \alpha }+x } dx = \sqrt{ e^{ \alpha } } = e^{ \frac{ \alpha }{2} } .}\)