Oblicz wartosc oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa ciagla ma gestosc przedstawioną na rysunku (opisałem ten rysunek)
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}
0, x<-1 \wedge x \geqslant 1
\\0.5, -1 \leqslant x< 0
\\|x-1|, 0 \leqslant x < 1
\end{cases}}\)
Taka jest treść zadania, ale w sumie tą wartość bezwzględna można zamienić na:
\(\displaystyle{ -x+1, 0 \leqslant x < 1}\)
Ale nadal nie wiem jak się do tego zabrać, proszę o jakieś sugestie.
wartosc oczekiwana zmiennej losowej
wartosc oczekiwana zmiennej losowej
ta zmienna losowa jest opisana na rysunku, ale nie przerysowałem go tylko opisałem.
Jak to rozwiązać?
Jak to rozwiązać?
wartosc oczekiwana zmiennej losowej
To nie jest zmienna losowa niezależnie od tego, czy zrobisz rysunek, czy nie. Ja umiem sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji \(\displaystyle{ F}\). Jednak ta funkcja nie jest zmienną losową,.
OK. Widzę, że poprawiłeś. \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją gęstości. Sprawdź warunki na gestość (nieujemność, calka po całej prostej wynosi 1). Teraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości \(\displaystyle{ F}\) wyliczamy według wzoru
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xF(x)\,\text{d}x\,.}\)
W naszym przypadku mamy oczywiście \(\displaystyle{ EX=\int_{-1}^1 xF(x)\,\text{d}x\,.}\)
Rozdziel to na dwie całki tak jak definicja \(\displaystyle{ F}\).
Odp. \(\displaystyle{ EX=-\frac{1}{12}\,.}\)
OK. Widzę, że poprawiłeś. \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją gęstości. Sprawdź warunki na gestość (nieujemność, calka po całej prostej wynosi 1). Teraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości \(\displaystyle{ F}\) wyliczamy według wzoru
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xF(x)\,\text{d}x\,.}\)
W naszym przypadku mamy oczywiście \(\displaystyle{ EX=\int_{-1}^1 xF(x)\,\text{d}x\,.}\)
Rozdziel to na dwie całki tak jak definicja \(\displaystyle{ F}\).
Odp. \(\displaystyle{ EX=-\frac{1}{12}\,.}\)
Ostatnio zmieniony 6 sty 2012, o 15:55 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
wartosc oczekiwana zmiennej losowej
ok, wielkie dzięki, "Rozdziel to na dwie całki tak jak definicja F." to rozumiem że sumujemy pózniej te dwie całki?