5 kul i 3 pudelka

[TenTyp-Autentyk]

Mamy 5 roznych kul (czerwona, czarna, zielona, zolta, niebieska), oraz 3 rozne pudelka (pudelko pierwsze, drugie i trzecie). Jakie jest prawdopodobienstwo ze w jednym z pudelek znajdzie sie dokladnie jedna kula?

Prawdopodobieństwo ze w pierwszym (lub drugim lub trzecim) pudelku znajdzie sie dokladnie jedna kula wynosi: \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\)

Teraz jak pomnoze to razy trzy pudelka to mam: \(\displaystyle{ \frac{240}{243}}\)

Jednak wynik sie nie zgadza, gdzie jest blad?

[mat_61]

A skąd masz wynik \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\) ?

[TenTyp-Autentyk]

https://www.matematyka.pl/275955.htm

[mat_61]

Zauważ, że te zadania mają różne treści.

W tym zadaniu w podanym linku masz pytanie:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku pierwszym znajdzie sie dokładnie jedna kula.

Natomiast tutaj jest pytanie:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym z pudełek znajdzie sie dokładnie jedna kula?

Pierwsze pytanie oznacza, że w pudełku nr 1 ma być dokładnie jedna kula (a w pozostałych pudelkach układ kul może być dowolny)

Drugie pytanie oznacza, że jedna kula ma być w jednym z pudełek (natomiast w dwóch pozostałych mają być inne ilości kul niż jedna).

[TenTyp-Autentyk]

Rozumiem tresc, ale chyba ty nie rozumiesz mojego problemu.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku pierwszym znajdzie sie dokładnie jedna kula?
wyszlo: \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\)


Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym z pudełek znajdzie sie dokładnie jedna kula?
Czyli:
prawdopodobientwo ze to bedzie w pudelku pierwszym wynosi: \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\)
prawdopodobientwo ze to bedzie w pudelku drugim wynosi: \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\)
prawdopodobientwo ze to bedzie w pudelku trzecim wynosi: \(\displaystyle{ \frac{80}{243}}\)

sumuje te trzy prawdopodobienstwa i dostaje: \(\displaystyle{ \frac{240}{243}}\)
Wynik jest zly

[mat_61]

Z tego co napisałeś to chyba nie do końca rozumiesz czym różnią się treści tych dwóch zadań.

P-stwo, że w jednym z pudełek znajdzie się jedna kula nie jest 3-krotnie większe od p-stwa, że w pierwszym pudełku znajdzie się jedna kula.

Układem kul w pudełkach sprzyjającym drugiemu zdarzeniu jest np. taki układ:

I pudełko - kula czarna
II pudełko - kula czerwona, zielona i złota
III pudełko - kula niebieska

bo w pudełku I jest jedna kula.

Taki sam układ kul nie jest układem sprzyjającym pierwszemu zdarzeniu, bo po jednej kuli jest w dwóch pudełkach (w pudełkach nr I i nr III).

-- 30 gru 2011, o 22:10 --

Mówiąc inaczej jeżeli liczymy te warianty dla których w pierwszym pudełku ma być jedna kula, to nie interesuje nas układ kul w pozostałych pudełkach (np. w pudełku II lub pudełku III także może być tylko jedna kula), natomiast jeżeli liczymy te warianty dla których w jednym z pudełek ma być jedna kula, to jeżeli np. w pudełku I jest jedna kula to w żadnym z pozostałych pudełek nie może być jednej kuli.

Ja tak rozumiem treść tych zadań. Czy poprawny wynik wg autora zadania to: \(\displaystyle{ \frac{40}{81}}\) ?

[TenTyp-Autentyk]

Poprawny wynik to \(\displaystyle{ \frac{60}{81}}\)
Dziekuje za pomoc, takiej wskazowki wlasnie potrzebowalem, mysle ze juz teraz bede wiedzial jak to rozwiazac

[mat_61]

Dla podanego przeze mnie rozumienia zwrotu: w jednym z pudełek znajdzie sie dokładnie jedna kula powyższa odpowiedź nie wydaje mi się dobra.

Układów dla umieszczenia jednej kuli w jednym z pudełek jest 15 (3 pudełka do wyboru i możliwość umieszczenia w każdym przypadku jednej z 5 kul).

Pozostałe 4 kule należy rozmieścić w pozostałych dwóch pudełkach tak, aby w żadnym z nich nie było jednej kuli. Można to zrobić w dwóch wariantach:

I: wszystkie 4 kule w jednym z pudełek i drugie pudełko puste - 2 możliwości

II: po 2 kule w każdym z pudełek - 6 możliwości

Wszystkich wariantów jest więc:

\(\displaystyle{ |A|=15 \cdot (2+6)=120}\), czyli:

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{120}{243} = \frac{40}{81}}\)

------------------------------------------

Podany przez Ciebie wynik byłby poprawny gdyby pytanie było takie:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej w jednym z pudełek znajdzie sie dokładnie jedna kula?

Wówczas należałoby jeszcze dodać te warianty w których w dwóch pudełkach byłoby po jednej kuli (a tym samym trzy kule w trzecim pudełku). Ponieważ trzy kule z pięciu możemy wybrać na 10 sposobów, pudełko dla tych kul na 3 sposoby, a pozostałe dwie kule rozmieścić w dwóch pudełkach na 2 sposoby, to mielibyśmy dodatkowo:

\(\displaystyle{ 10 \cdot 3 \cdot 2=60}\) wariantów.

Przy takiej interpretacji mielibyśmy więc:

\(\displaystyle{ |A|=180}\) oraz \(\displaystyle{ P(A)= \frac{60}{81}}\)

Osobiście uważam taką interpretację za - mówiąc delikatnie - lekko naciąganą

Przykładowo zwrot:

w liczbie 5-cyfrowej mamy dwie czwórki

jest dla mnie tożsamy ze zwrotem:

w liczbie 5-cyfrowej mamy dokładnie dwie czwórki

a nie ze zwrotem:

w liczbie 5-cyfrowej mamy co najmniej dwie czwórki