Zmienna losowa typu ciągłego

[krzysiek852]

Długość podstawy trójkąta równoramiennego(ABC) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<0,50>).
Obliczyć wartość oczekiwaną kąta przy wierzchołku(B) tego trójkąta, jeśli jego ramiona mają długość 50.
Z góry dzięki za pomoc.

[szw1710]

\(\displaystyle{ a}\) - podstawa.

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{50}=\sin\frac{\alpha}{2}\\[2ex]
\alpha=2\arcsin\frac{a}{100}.}\)

\(\displaystyle{ E[\alpha]=E\left[2\arcsin\frac{a}{100}\right]=\int_0^{50}2\arcsin\frac{a}{100}g(a)\text{d}a}\),

gdzie \(\displaystyle{ g(a)}\) jest funkcją gęstości rozkładu jednostajnego w \(\displaystyle{ [0,50]}\), tzn. \(\displaystyle{ g(a)=\frac{1}{50}}\) dla \(\displaystyle{ a\in[0,50]}\) i zero dla pozostałych \(\displaystyle{ a}\).

Mamy więc całkę

\(\displaystyle{ \int_0^{50}2\arcsin\frac{a}{100}\cdot\frac{1}{50}\text{d}a=\frac{1}{25}\int_0^{50}\arcsin\frac{a}{100}\text{d}a\approx 0.5113 \text{ rad}\approx 29.3^{\circ}.}\)

Liczymy ją przez części. Ciekawe, że nie wychodzi kąt \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).

[krzysiek852]

Dzięki za pomoc, ale chyba źle obliczyłeś wartość przeciętną.Po obliczeniu kąta, powinieneś stworzyć dystrybuantę. \(\displaystyle{ \alpha = X(x). X(x)<t}\)dla \(\displaystyle{ t\in(0, \pi/3)}\). \(\displaystyle{ 2\arcsin(x/100)<t}\) czyli \(\displaystyle{ x<100\sin(t/2)}\). F(x)=\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} (100\sin(t/2))/50 dla t\in(0, \pi/3)\\0/50 dla t \le 0\\1/50dla t \ge 0 \end{array}}\). Obliczam pochodną dystrybuanty, żeby dostać gęstość i podstawiam do wzoru dla wartości średniej.

[szw1710]

Ja to potraktowałem jako funkcję zmiennej losowej. Mamy wyjściowo podstawę o rozkładzie jednostajnym, obkładam ją tym arcus sinusem i liczę wartość oczekiwaną nowej zmiennej. Tak to potraktowałem.

Wydaje mi się, że mam podejście w porządku. Otóż jeśli mamy zmienną losową ciągłą \(\displaystyle{ X}\) o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to

\(\displaystyle{ E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\text{d}x}\).

Ja zastosowałem ten wzór.

[krzysiek852]

Może masz rację, ale moim sposobem wychodzi około 60 stopni.

[szw1710]

Mi się też wydaje że to logiczna odpoiwedź. Ale Około!!1 Mi ok. 30.
Porównaj obie odpowiedzi. Czy Twoja to nie jest dwa razy moja.

Oczywiście w chwili wolnej przejrzę swoje rozwiązanie.

Czekaj, weźmy to na chłopski rozum. Oczekiwana długość podstawy to \(\displaystyle{ 25}\), więc połowa to \(\displaystyle{ 12.5}\). Więc \(\displaystyle{ \frac{12.5}{50}=\frac{1}{4}=\sin\frac{\alpha}{2}}\), skąd

\(\displaystyle{ \alpha=2\arcsin\frac{1}{4}\approx 0.5054}\), skąd \(\displaystyle{ \alpha\approx 28.96^{\circ}}\)

Policzę tę całkę ręcznie. Zobaczę wynik. Bo odpowiedzi z całki i ta na chłopski rozum różnią bardzo nieznacznie.

Nie. Całka to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}+2\sqrt{3}-4\approx 0.5113}\)