Mam problem z takimi dwoma zadaniami:
1. Nadajnik wysyła sygnał X. Odbiornik odbiera sygnał Y=aX+Z, gdzie a>0 jest współczynnikiem wzmocnienia, zaś Z zakłóceniem. Wiadomo, że X, Z są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym EX=m, VarX=1, EZ=0 oraz VarZ=\(\displaystyle{ \sigma^2}\). Wyznaczyć współczynnik korelacji liniowej zmiennych X,Y oraz regresję liniową X względem Y.
2. Zmienne losowe X,Y są niezależne i mają rozkłąd Poissona z parametrami \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \lambda}\), odpowiednio. Obliczyć P(X=k|X+Y) (gdzie k jest ustaloną liczbą nieujemną) i E(X|X+Y)
Jeśli chodzi o pierwsze to nawet nie wiem, z której strony się za to zabrać. Udało mi się wyliczyć, że
\(\displaystyle{ E(XZ)=0, EX^2=m^2+1}\) i \(\displaystyle{ EZ^2=\sigma^2}\), ale też nie bardzo wiem jak to wykorzystać.
W zadaniu drugim wiem jak policzyć gęstość X+Y. Czy aby policzyć P(X=k|X+Y) wstarczy tam wstawić k?-- 23 grudnia 2011, 14:50 --Dla zainteresowanych znam już rozwiązanie tych dwóch zadań:
1.
\(\displaystyle{ Y=aX+Z}\)
\(\displaystyle{ Cov(X,Z)=0}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=m}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z=0}\)
\(\displaystyle{ VarX=1}\)
\(\displaystyle{ VarZ=\sigma^{2}}\)
a) współczynnik korelacji liniowej zmiennych X,Y
\(\displaystyle{ Q_{X,Z}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&\sigma^{2}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}X\\aX+Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\a&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}X\\Z\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Q_{X,Y}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\a&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&\sigma^{2}\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\a&\sigma^{2}\end{array}\right]
*\left[\begin{array}{cc}1&a\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&a\\a&a^{2}+\sigma^{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}VarX&Cov(X,Y)\\Cov(X,Y)&VarY\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \rho_{X,Y}= \frac{Cov(X,Y)}{ \sqrt{VarX*VarY} }= \frac{a}{\sqrt{a^{2}+\sigma^{2}}}}\)
b) regresja liniowa Y względem X
\(\displaystyle{ Y=a_{1}X+b_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{Cov(X,Y)}{VarX}=a}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=\mathbb{E}Y-\mathbb{E}X*\frac{Cov(X,Y)}{VarX}=\mathbb{E}(aX+Z)-a\mathbb{E}X=a\mathbb{E}X+\mathbb{E}Z-a\mathbb{E}X=\mathbb{E}Z=0}\)
\(\displaystyle{ Y=aX}\)
2.a.
\(\displaystyle{ X \sim Pois(\mu)}\)
\(\displaystyle{ Y \sim Pois(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|X+Y=n)= \frac{\mathbb{P}(X=k,X+Y=n)}{\mathbb{P}(X+Y=n)}=\frac{\mathbb{P}(X=k)*\mathbb{P}(Y=n-k)}{\mathbb{P}(X+Y=n)}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X+Y=n)= \sum_{j=0}^{n}\mathbb{P}(X=j,Y=n-j)= \sum_{j=0}^{n}\mathbb{P}(X=j)*\mathbb{P}(Y=n-j)=\sum_{j=0}^{n} \frac{\mu^{j}}{j!} *e^{-\mu}* \frac{\lambda^{n-j}}{(n-j)!} *e^{-\lambda}=e^{-(\mu+\lambda)}* \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!(n-j)!}*\mu^{j}*\lambda^{n-j}}\)
Zauważmy, że: \(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!*k!} a^{k}*b^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X+Y=n)=e^{-(\mu+\lambda)}* \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!(n-j)!}*\mu^{j}*\lambda^{n-j}= \frac{e^{-(\mu+\lambda)}*(\mu+\lambda)^{n}}{n!}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|X+Y=n)= \frac{ \frac{\mu^k}{k!}*e^{-\mu}* \frac{\lamda^{n-k}}{(n-k)!}*e^{-\lambda} }{ e^{-(\mu+\lambda)}*\frac{(\mu+\lambda)^{n}}{n!}}= \frac{\mu^{k}*\lambda^{n-k}*n!}{k!*(n-k)!(\mu+\lambda)^{n}}}\)
2.b.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X+Y|n)= \sum_{k=0}^{n}k*\mathbb{P}(X=k|X+Y=n)=\sum_{k=0}^{n}k*\frac{\mu^{k}*\lambda^{n-k}*n!}{k!*(n-k)!(\mu+\lambda)^{n}}= \frac{1}{(\mu+\lambda)^{n}}*\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!*(k-1)!}*\mu^{k-1}*\lambda^{n-k}= \frac{n*\mu}{(\mu+\lambda)^{n}}* (\mu+\lambda)^{n-1} = \frac{n*\mu}{\mu+\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X+Y)= \frac{(X+Y)*\mu}{\mu+\lambda}}\)