Wartość oczekiwana

[patryx]

Proszę o pomoc w zadaniu:
Dziesięć dziewczynek oraz dziesięciu chłopców ustawia się losowo w pary. Wyznaczyć
wartość oczekiwaną liczby par złożonych z samych dziewczynek.

[miodzio1988]

Najpierw potrzebujemy zmiennej losowej. Jaka zmienna losowa będzie tutaj odpowiednia?

[Potekk]

Fajnie, gdyby te zmienne losowe były łatwe w użytkowaniu. Czy da rade zdefiniować zmienne 0/1?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ mathrm{X_{i}} = [}\) i-ta dziewczynka jest w parze z inną dziewczynką \(\displaystyle{ ]}\) - notacja Iversona

Jak wtedy wygląda zmienna losowa opisująca liczbę par dziewczynek?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mathrm{X} = \frac{ \sum_{i = 1}^{10} \mathrm{X_{i}} }{2}}\)

Ile wynosi wartość oczekiwana tego, że i-ta dziewczynka ma koleżanke?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mathbb{E} \mathrm{X_{i}} = 1 \cdot \mathrm{P(X_{i} = 1) = \frac{ {9 \choose 1} }{ {19 \choose 1} } = \frac{9}{19} }}\) - takie jest prawdopodobienstwo ze z 19 pozostalych osob wybierzemy jedną z 9 dziewczynek

I co potem?

Ukryta treść:    

W wartości oczekiwanej nie zwracamy uwagę na niezależność. Obliczamy \(\displaystyle{ \mathbb{E}\mathrm{X}}\) normalnie z addytywności