Niech R>0.
Z przedziału [0,R] losujemy niezależnie od siebie współczynniki d i e trójmianu \(\displaystyle{ x^2+2dx+e}\).
Policzyć prawdopodobieństwo, że wszystkie pierwiastki tego trójmianu:
a) będą liczbami rzeczywistymi;
b) będą liczbami rzeczywistymi ujemnymi.
pr-wo dla pierwiastków trójmianu kwadratowego
-
drunkard
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 6 kwie 2005, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 23 razy
pr-wo dla pierwiastków trójmianu kwadratowego
a) wyróżnik trójmianu: \(\displaystyle{ \Delta=4d^{2}-4e=4(d^{2}-e)}\) więc warunkiem istnienia rzeczywistych pierwiastków (pierwiastka) jest \(\displaystyle{ d^{2} \geqslant e}\) ,a po podstawieniu dla czytelności X=d, Y=e (zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym na [0,R]; nie mylić z x z trójmianu) szukamy prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(Y<X^{2})}\). Najłatwiej wynik otrzymać metodą graficzną: przestrzenią zdarzeń elementarnych jest kwadrat o boku długości R, a zdarzenie jest spełnione dla wszystkich punktów poniżej paraboli \(\displaystyle{ y=x^{2}}\), a obszar tego pola to całka z \(\displaystyle{ x^{2}}\), przy czym osobno trzeba rozważyć przypadki a1) R<1 i a2) R>1
W pierwszym przypadku szukane pole to \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{R}x^{2}dx =\frac{1}{3}R^{3}}\)
W drugim przypadku mamy \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\sqrt{R}}x^{2}dx + \int\limits_{\sqrt{R}}^{R} R dx = \frac{1}{3}R^{\frac{3}{2}}+R(R-\sqrt{R})=R^{2}-\frac{2}{3}R^{\frac{3}{2}}}\)
(Prawdopodobieństwa dostajemy po podzieleniu pól przez \(\displaystyle{ R^{2}}\); Warto sprawdzić, że dla R=1 oba wzory "zbiegają" do siebie i dają ten sam wynik)
b) tu dochodzi warunek \(\displaystyle{ b>\sqrt{b^2-4ac}}\) tj. \(\displaystyle{ 2d^{2}-d<2e}\) , co po uwzględnieniu poprzednich oznaczeń daje dodatkowy warunek \(\displaystyle{ Y>X^{2}-\frac{X}{2}}\). Pole się nieco zawęża i po przyjemnościach związanych z całkowaniem dostajemy wynik. Zresztą od razu widać, że dla R<1 będzie to po prostu całka z \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}R^{2}}\)
W pierwszym przypadku szukane pole to \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{R}x^{2}dx =\frac{1}{3}R^{3}}\)
W drugim przypadku mamy \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\sqrt{R}}x^{2}dx + \int\limits_{\sqrt{R}}^{R} R dx = \frac{1}{3}R^{\frac{3}{2}}+R(R-\sqrt{R})=R^{2}-\frac{2}{3}R^{\frac{3}{2}}}\)
(Prawdopodobieństwa dostajemy po podzieleniu pól przez \(\displaystyle{ R^{2}}\); Warto sprawdzić, że dla R=1 oba wzory "zbiegają" do siebie i dają ten sam wynik)
b) tu dochodzi warunek \(\displaystyle{ b>\sqrt{b^2-4ac}}\) tj. \(\displaystyle{ 2d^{2}-d<2e}\) , co po uwzględnieniu poprzednich oznaczeń daje dodatkowy warunek \(\displaystyle{ Y>X^{2}-\frac{X}{2}}\). Pole się nieco zawęża i po przyjemnościach związanych z całkowaniem dostajemy wynik. Zresztą od razu widać, że dla R<1 będzie to po prostu całka z \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}R^{2}}\)