Wybieramy monetę i rzucamy do 1. orła

[aleksyprycki]

Mamy sobie zbiór monet, losujemy dowolną i rzucamy do 1. orła. Z jest prawdopodobieństwem wylosowania orła w poj. rzucie. Nie znamy wartości Z ale znamy jej rozkład. X jest liczbą rzutów (do 1. orła). Pokazać:
\(\displaystyle{ P(X=1) - P(X=2|X>1) = \frac{Var(Z)}{1-EZ}}\)

To co ja wymyśliłem to to, że \(\displaystyle{ P(X=1) = Z}\) i \(\displaystyle{ P(X=2|X>1) = P(X=1) = Z}\). Tu się rodzi problem, bo z nieznanych mi przyczyn wychodzi, że wariancja Z jest 0. Gdzie popełniłem błąd bo nie wierzę, że to jest dobre rozumowanie. Będę wdzięczny za szybką odpowiedź!

-- 5 gru 2011, o 09:08 --

Dobra doszedłem do tego. Myślę, że trochę osób może się tym interesować w najbliższym czasie, więc choć temat można zamknąć to przez najbliższe parę dni niech jeszcze tu pozostanie. Rozwiązanie jest proste: zamiast przyjmować \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=2|X>1)=Z}\) należy to policzyć z prawdopodobieństwa całkowitego:
\(\displaystyle{ P(X=1)=\sum_{i}{p_i * P(Z=p_i)}}\) gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) to prawdopodobieństwa orłów dla poszczególnych monet. Teraz \(\displaystyle{ P(X=2|X>1)=\frac{P(X=2\wedge X>1)}{P(X>1)}=\frac{\sum_{i}{p_i*(1-p_i)*P(Z=p_i)}}{1 - P(X=1)}}\). Teraz widać, że \(\displaystyle{ P(X=1)=EZ}\) z definicji, więc mamy:
\(\displaystyle{ P(X=1)-P(X=2|X>1)=EZ-\frac{\sum_{i}{p_i*P(Z=p_i)}-\sum_{i}{p_{i}^{2}*P(Z=p_i)}}{1-EZ}=\frac{EZ(1-EZ)-EZ+\sum_{i}{p_{i}^{2}*P(Z=p_i)}}{1-EZ}}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ Ef(X)=\sum_{i}{f(x_i)*P(X=x_i)}}\), skąd mamy \(\displaystyle{ \sum_{i}{p_{i}^{2}*P(Z=p_i)}=EZ^2}\) czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ P(X=1)-P(X=2|X>1)=\frac{EZ^2-(EZ)^2}{1-EZ}=\frac{VarZ}{1-EZ}}\) co było do pokazania.