punkt z koła

[rzoob3r]

Ze zbioru \(\displaystyle{ D = \left\{ \left( x,y\right) \in R ^{2}:x ^{2}+y ^{2} \le 1, x,y \ge 0 \right\}}\)losujem ypunkt. Niech X oznacza odległość tego punktu od początku układu współrzędnych. Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X ^{3}+1}\).

Mam problem z wyznaczeniem gęstośći zmiennej X. Kombinowałem, że może jakoś
\(\displaystyle{ g\left( x\right)= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\), ale to chyba nie tak.
Znalazlem jakis przykład, też na odległość od początku układu współrzędnych, tez kolo o promieniu 1 tam było:
\(\displaystyle{ X \in \left[ 0,1\right], dla a \in \left[ 0,1\right] P\left( X \in \left[ 0,a\right] \right)= \frac{ \pi a ^{2} }{ \pi }= a^{2}}\).
Jak to powinno być? Mając gęstość X już raczej sobie poradze.

[Lider Artur]

Zauważmy na wstępie, że \(\displaystyle{ X \in [0;1] \rightarrow X^3+1 \in [0,2]}\).
Niech \(\displaystyle{ Y=X^3+1}\)
Wyznaczmy dystrybuantę tej zmiennej losowej, tj.:
\(\displaystyle{ P(Y \le t)=P(X^3+1 \le t)=P(X^3 \le t-1)=...}\)
Potem wystarczy zróżniczkować dystrybuantę, by otrzymać gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^3+1}\)

[rzoob3r]

chyba \(\displaystyle{ X ^{3}+1 \in \left[ 1,2\right]}\)?

tylko, ze wlasnie do wyznaczenia dystrybuanty potrzebna mi gestosc X (czy nie?), ktorej nie znam.

[Lider Artur]

Przepraszam, tak zgadza się. Pomyliłem się. Oczywiście \(\displaystyle{ X ^{3}+1 \in \left[ 1,2\right]}\).
Gęstości rzeczywiście nie znasz. Ale w miarę łatwo jest wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ X}\).
Mamy tu do czynienia z prawdopodobieństwem geometrycznym.

[rzoob3r]

wlasnie kombinowalem w te strone, napisalem moje typy w pierwszym poscie. co tam trzeba poprawic?

wymyslilem tez cos takiego
\(\displaystyle{ X= \frac{x}{cos \alpha }}\), ale w rozwiazaniu zadania nie ma zadnych katow, wiec to nie jest raczej poprawne rozumowanie

[Lider Artur]

Relatywnie łatwo wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ (\forall t \in (0,1]) P(X<t)= \frac{\pi t^2}{\pi }}\)
dla \(\displaystyle{ t>1}\) mamy \(\displaystyle{ P(X<t)=1}\)
dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) mamy \(\displaystyle{ P(X<t)=0}\)

[rzoob3r]

aj czyli kombinowalem w dobra strone,
wyszlo, dziekuje bardzo
gestosc X=2x

odp: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\left( y-1\right) ^{- \frac{1}{3} } \cdot 1 _{\left( 1,2\right) }\left( y\right)}\)