okragly stol - sprawdzenie

[fuqs]

1) posadzono przy okrągłym stole n osób, w tym a i b. oblicz prawdopodobienstwo, ze meidzy osobami a i b bedzie siedzialo dokladnie r osób.

2) sposrod 12 osob siedzacych przy okraglym stole, wybieramy 5. jakie jest prawodpodobienstwo, ze nie wybralismy dwoch osob siedzacych obok siebie?



w 1 zadaniu wydaje mi sie, ze \(\displaystyle{ P = \frac{ {n-2 \choose r }\cdot r! \cdot (n-r-2)! }{(n-1)!}}\)


w 2 zadaniu natomiast: \(\displaystyle{ P = 1- \frac{ {12 \choose 1} \cdot {10 \choose 3} }{ {12 \choose 5} }}\)

jest dobrze?

[mat_61]

1) Wg mnie rozwiązanie zależy od tego, czy:

\(\displaystyle{ \frac{n-2}{2} =r}\)

Widzę, że w Twoim rozwiązaniu liczysz tak jakby miejsca dla a i b były ustalone. Tak jest tylko w sytuacji jak powyżej.

Jeżeli:

\(\displaystyle{ \frac{n-2}{2} \neq r}\)

to nie można czegoś takiego założyć, bo jeżeli przyjmiemy miejsce dla a, to b może siedzieć w dwóch miejscach do wyboru: albo o r miejsc dalej po prawej stronie, albo o r miejsc dalej po lewej stronie.

2) Mógłbyś napisać swoje rozumowanie do tego rozwiązania?

[fuqs]

czyli w zadaniu 1 jak pomnoze przez 2 to bedzie ok?

pamietajmy ze to jest okragly stol



a w zadaniu 2 licze pr. zdarzenia przeciwnego, czyli ze conamniej 2 osoby wybrane przez nas siedza obok siebie

czyli najpierw wybieram jedna pare osob siedzacych obok siebie (12 mozliwosci) i wybieram pozostale 3 osoby juz siedzacych w dowolny sposob , z pozostalych dziesieciu

[mat_61]

czyli w zadaniu 1 jak pomnoze przez 2 to bedzie ok?

Moim zdaniem w rozwiązaniu trzeba uwzględnić dwa przypadki. Dla jednego rozwiązanie jest take jak napisałeś wcześniej, a dla drugiego licznik pomnożony przez 2.

pamiętajmy ze to jest okragly stół

Pamiętam.
Chodzi o to, że na początek dzielisz pozostałe \(\displaystyle{ (n-2)}\) osób na dwie części: o liczebności \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ (n-r-2)}\).

Jeżeli te części mają różną liczbę elementów to muszą być rozróżnialne (np. grupa 2 oraz 4 elementowa). Jeżeli np. r=2 i wybieramy mniejszą grupę (kombinacje), to może być ona raz po prawej stronie osoby a, natomiast drugi raz po lewej stronie. Stąd to mnożenie przez 2.

Jeżeli te części mają jednakową liczbę elementów (np. 2 razy po 3 osoby) i zakładamy, że grupy są rozróżnialne, to wówczas umieszczając tą wybraną grupą zawsze po tej samej stronie (np. po prawej) uwzględniamy już wszystkie możliwości.
Bierze się to stąd, że np. wybierając osoby {c,d,f} i rozmieszczając po prawej stronie, osoby {e,g,h} lokujemy po lewej. Ale innym wyborem osób do rozmieszczenia po prawej stronie będzie {e,g,h} i wówczas po lewej będą osoby {c,d,f}.

Łatwo zauważyć, że te dwa różne wybory oznaczają podział osób na dwie takie same grupy, z których raz jedna a raz druga będzie po tej samej stronie (dlatego też nie ma już mnożenia przez 2)

w zadaniu 2 licze pr. zdarzenia przeciwnego, czyli ze conamniej 2 osoby wybrane przez nas siedza obok siebie

czyli najpierw wybieram jedna pare osob siedzacych obok siebie (12 mozliwosci) i wybieram pozostale 3 osoby juz siedzacych w dowolny sposob , z pozostalych dziesieciu

Sam zamysł dobry, ale sposób liczenia już nie, bo w ten sposób te same wybory osób liczysz wielokrotnie.

Załóżmy, że te dwie osoby siedzące obok siebie to osoby 4 i 5, natomiast te wybrane dowolnie z pozostałych, to 6, 8 i 9.

Ale przecież mogłeś wybrać też tak:

a) siedzące obok siebie to osoby 5 i 6, natomiast te wybrane dowolnie z pozostałych, to 4, 8 i 9.

b) siedzące obok siebie to osoby 8 i 9, natomiast te wybrane dowolnie z pozostałych, to 4, 5 i 6.

Jak widzisz te warianty są wg Twojego sposobu liczone jako różne, podczas gdy w rzeczywistości oznaczają wybór tych samych pięciu osób {4;5;6;8;9}.

[fuqs]

a jesli chodzi o zadanie 2 to kurde fakt, glupi jestem ze nie pomyslalem o tym. to moze lepiej tak samo zdarzenie przeciwne, ale odejmuje zdarzenia , ze 2 osoby siedza obok sieie, 3 osoby, 4 osoby i 5 osob (a nie ze conajmniej) .

czyli moc tych zdarzen to bedzie \(\displaystyle{ {12 \choose 1} \cdot {8 \choose 3} + {12 \choose 1} \cdot {7 \choose 2} + {12 \choose 1} \cdot {6 \choose 1} + {12 \choose 1}}\)

dobrze mysle? i ze zdarzenia przeciwnego policzyc

[mat_61]

Słownie pomysł jest OK, ale rozwiązanie dalej złe.

Jeżeli masz np. przypadek, że dokładnie tylko 2 osoby siedzą obok siebie, to po wybraniu tych dwóch osób (np. 5 i 6) nie możesz wybierać pozostałych 3 osób z wszystkich miejsc oprócz 4 i 7, bo wówczas możesz wybrać np. 2,3,9 albo 9,10,11.

[fuqs]

kurde nie mysle dzis ; /

czyli zdarzenie ze dokladnie 2 osoby siedza obok siebie to bedzie:

\(\displaystyle{ {12 \choose 1} \cdot {4 + 3 - 1 \choose 3}}\) ?

najpierw wybieram pare osob przy stole, potem usuwam 1 osobe po lewej i 1 osobe po prawej stronie od nich i zostaje mi 8 osob w rzadku, sposord ktorych nie moge wybrac zadnych osob seidzacych obok siebie. czyli przyjmujac z W (osobe wybrana) i za N (osobe niewybrana) mam taki ciag W N W N W ktory zapewniaja zachdozenie tego zdarzenia. msuze jeszcze dorzucic do tego ciagu 3 osoby niewybrane (zeby bylo lacznie 8). moge je "dorzucic' wybierajac dla kazdej 1 z 4 pozycji (kombinacje z powtorzeniami). dorbze rozumuje?

tylko kolejna wkestia co bedzie jak wybierzemy tak: W W N W W N N N W N N N


i z kolei w tresci zadania nie ma podanego czy osoby sa rozroznialne czy nie ;/ pomocy

[mat_61]

Tutaj jest więcej wariantów.

Jeżeli chcesz skorzystać ze zdarzenia przeciwnego, to musisz uwzględnić wszystkie przypadki gdy jakiekolwiek osoby są razem. Wymaga to uwzględnienia wszystkich możliwości podziału zbioru 5-elementowego na niepuste podzbiory z których co najmniej jeden jest co najmniej 2-elementowy, czyli: 5 (wszystkie osoby obok siebie), 4+1 (4 osoby obok siebie + jedna oddzielnie), 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1

Jest więc trochę liczenia.

Natomiast proponuję się zastanowić czy nie będzie łatwiejsze policzenie tych sprzyjających wariantów wprost.

Przychodzi mi do głowy np. coś takiego:

1) Skoro jest mowa o osobach to zakładamy, że to są byty rozróżnialne.
2) Wyobraź sobie, że krzesło Wojtka będące dla nas punktem odniesienia oznaczamy przez 1 i krzesła numerujemy kolejno zgodnie z ruchem zegara.
3) Wybieramy kolejne krzesła tworząc zbiór pięciu liczb ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 12
4) Nas interesują te zbiory w których nie ma liczb sąsiadujących ze sobą (zakładamy, że sąsiadami są liczby 1 oraz 12)
5) Pozostaje ustalenie ile jest takich zbiorów (spośród tych 792 możliwych).

a) na początek wybieramy jedną osobę (12 możliwości) np. na krześle numer 5 i oznaczamy ją przez W.
b) po zakończeniu wybierania mamy pięć pustych miejsc.
c) kolejne puste miejsca musi oddzielać od siebie co najmniej jedno zajęte miejsce (lub jak napisałeś osoba niewybrana N).
d) ponieważ tych zajętych miejsc jest 7, to musimy podzielić je na 5 niezerowych zbiorów do rozmieszczenia między pustymi krzesłami. Takich możliwości podziału są dwa:
3+1+1+1+1 oraz 2+2+1+1+1
e)
Dla pierwszego wariantu wybieramy jedną "dziurę" z 5 dla 3 zajętych krzeseł (5 możliwości), w pozostałe "dziury" wstawiamy po jednym zajętym krześle. Czyli mamy np. coś takiego:

W-N-W-N-W-N-N-N-W-N-W-N

i w ten sposób ustalamy numery pustych krzeseł:

(5-7-9-1-3)

Dla drugiego wariantu wybieramy dwie "dziury" z 5 dla 2 zajętych krzeseł (10 możliwości), w pozostałe "dziury" wstawiamy po jednym zajętym krześle. Czyli mamy np. coś takiego:

W-N-N-W-N-W-N-N-W-N-W-N

i w ten sposób ustalamy numery pustych krzeseł:

(5-8-10-1-3)

f) Ponieważ te numery pustych krzeseł ustalamy w porządku zgodnym z ruchem wskazówek zegara to każdy taki zestaw numerów powtarza się pięciokrotnie.

W rezultacie daje to:

\(\displaystyle{ |A|=\frac{12 \cdot (5+10)}{5} =36}\) możliwości

i prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{22}}\)

Jest to oczywiście propozycja do przemyślenia bo nie wykluczam, że coś przegapiłem w swoim rozumowaniu.

[fuqs]

wielkie dzięki za pomoc! jesli chodzi o podpunkt f) , to po prostu chodzi o to, ze z rozumowania powzyej moze nam wyjsc: 5-8-10-1-3 , ale i moze 8-10-1-3-5 . a to jest to samo. i jest 5 takich przesuniec, stad tez dzielimy przez 5 tak?

reszta mi sie wydaje ok,

[mat_61]

Tak, dzielenie przez pięć ma uwzględniać te przesunięcia.