Proces Wienera jako martyngał.

[ertert]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ W_t}\) jest procesem Wienera, to \(\displaystyle{ X_t = W_t^3 - 3tW_t}\) jest martyngałem.
Sprawdzam, dla \(\displaystyle{ t > s}\) warunek \(\displaystyle{ E [(X_t - X_s) |\mathcal{F}_s] = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s = \{ \sigma(X_l): l \leqslant s\}}\). Niestety nie mogę wyzerować tego, próbowałem zamienić \(\displaystyle{ W_t^3 - W_s^3}\) na \(\displaystyle{ (W_t - W_s)^3}\) i co nieco pozerować, ale to nic nie dało. Proszę o pomoc.

[Nakahed90]

I to jest dobry początek, z tego co Ci zostało teraz postaraj się dostać \(\displaystyle{ (W_{t}-W_{s})^2}\)

[ertert]

Rzeczywiście wyszło; mam jeszcze jedno, z którym nie mogę się uporać. Mianowicie: \(\displaystyle{ \{(X_t,\mathcal{F}_t):0\leqslant t\}}\) jest procesem stochastycznym o niezależnych przyrostach, \(\displaystyle{ VarX_t < \infty}\). Pokazać, że proces postaci: \(\displaystyle{ M_t = (X_t - EX_t)^2 - VarX_t}\) jest martyngałem. Przyznam, że próbowałem na różne sposoby badać różnicę \(\displaystyle{ M_t - M_s}\). Jeżeli to trzeba podobną metodą zrobić, to na pewno popróbuję jeszcze, a może jakoś inaczej trzeba do tego podejść?