Podział 10 cm odcinka

[józef92]

Mamy odcinek 10 cm. Dzielimy go losowo na 3 części. Każda długość jest liczbą całkowitą. Jakie jest p-stwo że z tych części można zbudować trójkąt

Generalnie możemy ten odcinek podzielić na 220 sposóbów, czyli kombinacja z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ C=\frac{12!}{3!9!}=220}\)

Ale nie mamy tutaj pewności, że każda trójka liczb = 10 więc musimy teraz policzyć ile mamy takich trójek, które się nie powtarzają:

\(\displaystyle{ C=\frac{10!}{3!7!}=120}\), wśród tych kombinacji mogą być trójki, które dadzą nam spełnienie warunku:

\(\displaystyle{ a+b>c \\ a+c>b \\ b+c>a}\)

Dobrze myśle?

[irena_1]

Jeśli dzielisz odcinek 10-ciocentymetrowy na 3 odcinki i długości tych odcinków mają być liczbami naturalnymi, to:
masz 10 kawałków po 1cm, wstawiasz między te 10 kawałków dwie kreski (przerw między tymi kawałkami jest 9, więc możesz to zrobić na \(\displaystyle{ {9 \choose 2} =36}\) sposobów).
Żeby odcinki otrzymane spełniały warunek trójkąta, mogą to być odcinki o długościach 4, 4, 2 (3 możliwości) lub 3, 3, 4 (3 możliwości). Razem - 6 możliwości
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}\)

[mat_61]

irena_1, czy to jest na pewno poprawne rozwiązanie, bo mam wątpliwości.

Przy takim sposobie dzielenia odcinka otrzymujemy kilkakrotnie takie same długości (czyli różne ciągi takich samych elementów), co oczywiście samo w sobie nie jest niczym złym. Problem w tym, że te krotności są różne dla różnych zestawów odcinków.

Jeżeli mamy dwa odcinki jednakowej długości + trzeci innej (4 przypadki) to mamy - jak napisałaś - 3 takie zestawy (ciągi) dla każdego przypadku podziału, natomiast jak mamy wszystkie odcinki różnej długości (także 4 przypadki), to mamy 6 takich zestawów (ciągów) dla każdego przypadku podziału. Ale to oznaczałoby, że np. podział na odcinki 1+3+6 (wybór ciągu zawierającego elementy: 1, 3, 6) jest bardziej prawdopodobny niż podział na odcinki 2+2+6 (wybór ciągu zawierającego elementy: 2, 2, 6).

Tym samym - przy takim sposobie liczenia - dla każdego, możliwego podziału "wyjściowego" odcinka p-stwa nie są jednakowe a jest to warunek dla zastosowania klasycznej definicji p-stwa.

Liczbę 10 można zapisać jako sumę trzech liczb całkowitych dodatnich na 8 sposobów (czyli na tyle sposobów można podzielić odcinek 10 cm na trzy części o całkowitej długości) i z dwóch takich zestawów da się zbudować trójkąt.

[irena_1]

Chyba nie do końca mnie zrozumiałeś.
Masz odcinek 10cm i masz go podzielić na 3 odcinki o długościach wyrażonych liczbami naturalnymi.
Rozważ taką sytuację:
- możesz pierwsze cięcie odcinka wykonać po pierwszym centymetrze. Masz wtedy 8 możliwości wykonania drugiego cięcia (po 2., po 3., po 4., po 5., po 6., po 7., po 8. lub po dziewiątym centymetrze)
- jeśli pierwsze cięcie zrobisz po drugim centymetrze, to na drugie cięcie masz 7 możliwości
.
.
.
- jeśli pierwsze cięcie wykonasz po ósmym centymetrze, to masz jedną możliwość drugiego cięcia.

Policz- wszystkich takich możliwości masz
\(\displaystyle{ 8+7+6+...+2+1=\frac{8+1}{2}\cdot8=36}\)
i każda jest jednakowo prawdopodobna.

Jeśli z odcinków chcesz zbudować trójkąt, to odcinki te muszą mieć długości:
- 4, 4, 2, czyli cięcia: po 4., po 4., po 2. lub po 4., po 2., po 4. lub po 2., po 4., po 4. - 3 możliwości
- 3, 3, 4, czyli cięcia: po 3., po 3., po 4. lub po 3., po 4., po 3. lub po 4., po 3., po 3. - czyli też 3 możliwości

Stąd - takich możliwości jest 6.

I: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}\)

[mat_61]

Rozumiem Twój sposób liczenia tylko miałem wątpliwości czy odzwierciedla on rzeczywiste doświadczenie.

Dla Ciebie przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich 3-elementowych ciągów liczb naturalnych takich, że ich suma wynosi 10, czyli jako różne traktujesz podział np. na odcinki \(\displaystyle{ (2,3,5) \ (3,2,5) \ (2,5,3) \ (3,5,2) \ (5,2,3) \ (5,3,2)}\) .

Natomiast wg tego co napisałem ja przestrzenią zdarzeń elementarnych byłby zbiór wszystkich 3-elementowych zbiorów liczb naturalnych takich, że ich suma wynosi 10, czyli np. powyższe podziały byłyby traktowane jako jeden element tej przestrzeni \(\displaystyle{ \left\{ 2,3,5\right\}}\) .

Moja wątpliwość brała się z takiego sposobu rozumowania: gdyby patyk dać komuś do połamania (lub wrzucić do maszyny łamiącej) to możemy otrzymać trzy kawałki w długościach np. 2, 3 i 5 cm i nie rozróżniamy z której części patyka pochodzi który kawałek.

Po zastanowieniu przychylam się do Twojego sposobu rozwiązania zadania.

Po prostu z maszyny łąmiącej 2 razy częściej wypadałby zestaw \(\displaystyle{ \left\{ 2,3,5\right\}}\) niż np. \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,4\right\}}\) co łatwo sobie wyobrazić dla patyka którego każdy jednocentymetrowy odcinek byłby pomalowany na inny kolor.