Wyznaczenie gęstości prawdopodobieństwa [Tylko sposób]

[ghostko]

Zmienna Losowa X ma rozkład normalny (gaussowski) o gęstości prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi } } e^{-(\frac{ (x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})}}\)

Obliczyć gęstość prawdopodonbieństwa zmiennej losowej Y = a*X+b, gdzie a,b \(\displaystyle{ \in R}\), a \(\displaystyle{ \neq 0}\). Jaki rozkład ma zmienna losowa Y ?

Gdyby ktoś mógłby mi dać jakieś wskazówki lub napisać co trzeba zrobić byłbym wdzięczny : )

Edit: znalazlem taki wzor ale nie wiem skad sie wzial

Y = h(X)


\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \sum_{i}^{} f_{X}(h_{i}^{-1}(y))\left| \frac{ \partial }{ \partial y}h_{i}^{-1}(y) \right|}\)

moze ktos mnie naprowadzic ?

[szw1710]

Musisz przejrzeć Forum. Podobne zadania robiło się tu wiele razy.

[ghostko]

przeszukalem cale forum : /

Nikt nie moze pomoc ?

[szw1710]

Można podejść do tego od strony dystrybuanty.

Rozważając przypadek \(\displaystyle{ a>0}\) mamy

\(\displaystyle{ aX+b<x\iff X<\frac{x-b}{a}}\)

Więc \(\displaystyle{ G(x)=F\left(\frac{x-b}{a}\right)}\),

gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest dystrybuantą dla \(\displaystyle{ aX+b}\), a \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą dla \(\displaystyle{ X}\). Na gęstość przechodzimy z dystrybuanty od razu: gęstość to pochodna dystrybuanty.

[ghostko]

mhm

a kiedy dla zmiennej losowej Y przy y < 0 \(\displaystyle{ f_{Y} (y) = 0}\)
?

Pytam ponieważ obliczyłem gęstość dla \(\displaystyle{ Y = X^{2}}\) ale w mianowniku mam \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\) więc jest to tylko dla y>0, w odpowiedziach jest napisane zeby skorzystać z założenia zmiennej losowej Y które mówi właśnie o tym co napisałem wyżej. Czy może ktoś pomóc ?