Znaleźć rozkład zmiennej losowej

[rubik1990]

Wiemy że \(\displaystyle{ X_{1},...X_{n},M}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X_{i}\sim Exp(\lambda)}\)dla \(\displaystyle{ i=1,...n}\), \(\displaystyle{ M\sim g_{+}(q)}\). Mam znaleźć rozkład \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{M} X_{i}}\)
(\(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{(0,\infty)}(x)}\), \(\displaystyle{ g_{+}(q)}\) ma rozkład \(\displaystyle{ (k, q(q-q)^{k}), k=1,2,...}\) )
Nie wiem jak zacząć to zadanie. Byłbym wdzięczny za wskazówki

[miodzio1988]

Skorzystaj z funkcji charakterystycznej

[rubik1990]

Wielkie dzięki. Podpowiedź bardzo pomogła. A masz może jakiś pomysł jak to zrobić bez funkcji charakterystycznych? Jestem ciekaw czy liczyłeś to do końca i czy wyszedł Ci jakiś znany rozkład?

[miodzio1988]

Bez to standardowo, za pomocą warunkowania odpowiednich zmiennych losowych