Gęstość dwuwymiar. zmiennej losowej jest równa C na zbiorze

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 18:20

Witam,

proszę o wskazówkę do poniższego zadania:

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X , Y) jest równa C na zbiorze

\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y): x^2 + y^2 + 6 \cdot x \le 0 \ i \ x \cdot y \ge ≥0\right\} \ i \ 0 \ poza \ nim.}\)
a) wyznacz stała C
b) wyznacz gęstość warunkową \(\displaystyle{ f_{Y|X}\left( y|x \right)}\)

Pozdrawiam,
ManuG

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 18:23

Zeby funkcja byla gestością to jaki warunek musi spełniac?

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 18:41

\(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } f(x,y) dx dy =1}\)

Większy kłopot mam z "rozłożeniem" zbioru na przedziały całkowania.

Pozdr,
ManuG

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 18:44

Opisz mi jak wygląda ten zbiór \(\displaystyle{ D}\) i policz jego pole

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 19:03

\(\displaystyle{ x \cdot y \ge 0}\)

to pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych plus osie
a z tą nierównością kwadratową mam kłopot. Zeruje się dla par x=0, y=0 oraz x=-6, y=0

poprawiłem, powinno być 0.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 19:05

Ta nierówność kwadratowa powinna Ci przypominać jakąś figurę. jaką?

W 2 warunku jest jedynka czy zero? Bo raz piszesz tak a raz tak

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 19:16

Nierówność kwadratowa kojarzy mi się z kołem.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 19:17

No to rysunek i do dzieła. Liczysz pole

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 19:38

Chodzi o pole powierzchni półokręgu, który przecina OX w punktach -6 i 0 i znajduje się nad osią OX.
Całkę z tej funkcji...?
Jakoś nie widzę części wspólnej z tą drugą nierównością.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 19:40

Tak, chodzi o pole półokręgu

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 19:51

o ile dobrze wyczuwam intencje, to owe pole jest wartością stałej C, tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 lis 2011, o 19:53

Nie. Myslimy dalej patrząc się na definicje gęstości.

Manug · Post autor: **Manug** » 25 lis 2011, o 20:50

Dziękuje za dotychczasowe wskazówki.
Patrzę na to zadanie i nie mogę "załapać".

Czy mógłbyś bardziej opisowo, przekazać to co sugerowałeś pytaniami?

Będę wdzięczny.

Pozdrawiam,
ManuG.

-- 25 lis 2011, o 21:34 --

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } f(x,y) dx dy =1}\)

\(\displaystyle{ 1 = \int_{-6 }^{ 0 } \int_{0 }^{ 3 } C dx dy}\)

czyli, stąd będę w stanie wyliczyć C?
Czy zgodnie z definicją całki podwójnej i obszaru normalnego powinienem mieć w drugiej całce kawałek funkcji określającej obszar D.?

Pozdr,
ManuG.-- 26 lis 2011, o 22:28 --Nie daje spokoju mi to zadanie. Po przypomnieniu jak się liczy pole obszaru przy pomocy całki podwójnej .
Wychodzi mi, że powinno to wyglądać tak..

\(\displaystyle{ 1 = \int_{-6 }^{ 0 } \int_{0 }^{ \sqrt{-x^{2}-6x} } C dx dy=C \cdot \int_{-6 }^{ 0 } \sqrt{-x^{2}-6x} dx}\)

Stąd: \(\displaystyle{ C=\frac{2}{9 \pi}}\)

Może ktoś potwierdzić lub zweryfikować?

Pozdr,
ManuG