Witam,
prosze o weryfikacje poprawnosci rozwiazania ponizszego zadania.
Funkcja prawdopodobienstwa zmiennej (X,Y) okreslona jest tabela
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\ \ \ Y & -2 & 0 & 2 \\
X & & & \\ \hline
0 & 1/8 & C & 1/8\\ \hline
1 & C & 1/4 & C \\ \hline
2 & 1/2 & C & 0\\ \hline
\end{tabular}}\)
a) oblicz C
b) oblicz P(Y<1| X>0).
c) czy zmienne X i Y sa niezalezne
Ad a)
C = 0 ponieważ:
\(\displaystyle{ \sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=\frac{1}{8} + C+\frac{1}{2}+C+\frac{1}{4}+C+\frac{1}{8}+C+0=1+4\cdot C}\)
\(\displaystyle{ stad: 1=1+4 \cdot C \Rightarrow C = 0}\)
tabela po wyliczeniu C
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\ \ \ Y & -2 & 0 & 2 \\
X & & & \\ \hline
0 & 1/8 & 0 & 1/8\\ \hline
1 & 0 & 1/4 & 0 \\ \hline
2 & 1/2 & 0 & 0\\ \hline
\end{tabular}}\)
Ad b)
\(\displaystyle{ P(Y<1|X>0)=\frac{P(Y<1) \wedge P(X>0)}{P(X>0)}= \frac{0+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+0}{0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{2}+0+0}=1}\)
Ad c)
\(\displaystyle{ f_{X}(0)=f(0,-2)+f(0,0)+f(0,2)=\frac{1}{8}+0+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(-2)=f(0,-2)+f(1,-2)+f(2,-2)=\frac{1}{8}+0+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}}\)
stad.:
\(\displaystyle{ f(0,-2)=\frac{1}{8} \neq \frac{1}{4} \times \frac{5}{8}=f_{X}(0) f_{Y}(-2)}\)
