Niesprawiedliwa moneta

[JakimPL]

Z punktu widzenia definicji podanej przez mat_61 rozwiązanie nie spełnia ram sprawiedliwości i nie zamierzam się upierać, że jest. Natomiast w "życiowej" sytuacji raczej większość nie miałaby nic przeciwko takiemu rozwiązaniu spornej kwestii (no, chyba że po wygranej druga ze stron podejrzewałaby, że ta pierwsza znała właściwości monety, ale to już niepotrzebne drążenie tematu ).

[mat_61]

Tutaj się z Tobą zgadzam

Też mi się wydaje, że patrząc "życiowo" można rozumować w taki sposób, że mając np. kostkę w której jedna ścianka jest pomalowana na biało i pięć na czarno mówię zgadującemu, że może wybrać jeden z kolorów. Jak zgadnie co wyrzucę to wygrał zakład. Zgadujący może nawet wiedzieć, że kolory na ściankach są w proporcji \(\displaystyle{ 1:5}\) (ale nie wie który jest w jakiej ilości) i może wybrać albo kolor który daje mu p-stwo wygrania \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) albo kolor który daje mu p-stwo wygrania \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\). Oczywiście wybierając biały kolor i przegrywając nie może mieć za bardzo pretensji bo przecież to był jego wybór (równie dobrze mógł wybrać czarny kolor i pięciokrotnie zwiększyć szanse swojej wygranej).
Ja taki sposób losowania (pomimo, że faktycznie nie różni się niczym od losowania z kostką symetryczną, czyli mającą po trzy ścianki każdego koloru) także uznałbym za sprawiedliwy.

Argumentujesz zatem, że metoda proponowana przez JakimPL nie tyle co jest niesprawiedliwa, ale nie spełnia warunków zadania, bo nie tyczy się ona rzutów monetą (koniecznie liczba mnoga), ale wyboru orła czy reszki. Dobrze rozumiem?

Nie do końca. Od początku pisałem (a przynajmniej miałem taką intencję), że odpowiedź JakimPL nie spełnia definicji sprawiedliwości którą sam podałem w mojej odpowiedzi. Tą definicję starałem się sformułować tak, żeby odczytać intencję autora zadania (co z natury rzeczy nie jest proste). Wyszedłem z założenia, że skoro autor zaznacza, że moneta jest niesymetryczna, to raczej ta informacja jest istotna i dlatego rozwiązanie ignorujące niesymetryczność monety uznałem za wątpliwe. Tylko tyle.

Dla niesprawiedliwej monety jedynie dla \(\displaystyle{ p = 0,5}\) wynik byłby sprawiedliwy, ale mimo że strona \(\displaystyle{ A}\) ma tylko dwie opcje do obstawienia, nie wiemy z jakim prawdopodobieństwem strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze orła, więc nie możemy stąd nic wnioskować. Tak jest?

Nie wiem czy dobrze Cię rozumiem (w kwestii sprawiedliwości patrz wyżej) ale z grubsza o to chodzi. Wyobraźmy sobie, że takich losowań jest np. sto a dla pojedynczego losowania p-stwo wypadnięcia orła wynosi \(\displaystyle{ 0,9}\) Wówczas ktoś obstawiający obydwa wyniki z p-stwem \(\displaystyle{ 0,5}\) , czyli około \(\displaystyle{ 50}\) razy reszkę i \(\displaystyle{ 50}\) razy orła miałby około \(\displaystyle{ 50 \%}\) wygranych. Natomiast ktoś obstawiający ze znaczną przewagą jedną stronę miałby albo wyraźną "nadwyżkę" zwycięstw albo porażek

Z powyższej dyskusji widać jak z różnych interpretacji sformułowania użytego w zadaniu (i niestety w zadaniach z rachunku p-stwa taka sytuacja będzie się zdarzać) wynika odmienne rozumienie jego treści. Jak dla mnie w zadaniu brakuje doprecyzowania czym jest dla autora "sprawiedliwe losowanie".

Jak widać odświeżenie zadania sprzed roku może spowodować bardzo owocną dyskusję

[lokas]

Moim zdaniem wygląda to tak: w pierwszym rzucie pierwsze stronnictwo wybera np. orła, a drugie reszkę. W następnym rzucie pierwsze stronnictwo ma reszkę a drugie orła. Jeśli jest remis po tych dwóch rzutach powtarzamy sekwencję dwóch rzutów w sposób opisany powyżej aż do wygranej jednej ze stron. Sposób jest jak najbardziej uczciwy gdyż prawdopodobieństwo wygrania każdej ze stron jest identyczne i wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[JakimPL]

Co jeżeli zawsze wypada tylko jedna ze stron?

[lokas]

Co jeżeli zawsze wypada tylko jedna ze stron?

Wtedy jest identycznie. Zauważ, że rzucają do skutku, czyli nawet w nieskończoność. W zadaniu pytają o sprawiedliwe rozwiązanie, a nie o to kto wygra.

[mat_61]

Lokas zauważ, że Twoja propozycja jest identyczna z moją:

A wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy orła pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy reszkę

B wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy reszkę pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy orła.

Nikt nie wygrywa jeżeli wyrzucimy dwa razy orła lub dwa razy reszkę (wówczas powtarzamy sekwencję dwóch rzutów aż do rozstrzygnięcia).

[lokas]

Możliwe, bo nie czytałem wszyskich postów.
Czyli mat_61 i ja mamy rację. I koniec dyskusji.

[JakimPL]

Zaproponuj metodę rzucania tej monety, którą stronnictwa mogłyby użyć do sprawiedliwego wylosowania jednej ze stron.

Gdyby było napisane losowania, nie miałbym nic przeciwko. Ale tam jest tryb dokonany.

Zresztą, mniejsza o to .

[mat_61]

lokas, ale ty jesteś groźny

[gblablabla]

Ważne jest też to, że jeśli dla niesprawiedliwej monety prawdopodobieństwo wypadnięcia np. orła jest równe \(\displaystyle{ 1}\), a reszki \(\displaystyle{ 0}\), to rozwiązanie mat_61 nie działa, a zgodnie z zadaniem może się tak zdarzyć.
Celem jest sprawiedliwe wylosowanie, więc tego celu w ww przypadku nie osiągamy.


W każdym innym przypadku prędzej czy później jedna ze stron wygra.

[mat_61]

Po pierwsze gdy jedno z p-stw jest równe zero, to tak naprawdę żadna metoda nie działa, bo zawsze mamy tylko jeden możliwy wynik doświadczenia.

Po drugie Twoje stwierdzenie, że w każdym innym przypadku prędzej czy później jedna ze stron wygra oznacza, że to później może oznaczać też nieskończoność. Mówiąc inaczej nie ma żadnej gwarancji, że w skończonej liczbie rzutów nastąpi rozstrzygnięcie.

[gblablabla]

W tej sytuacji nie tyle żadna metoda nie działa, lecz chyba pozostaje tylko sposób JakimPL, niemający wiele wspólnego z samym rzutem, a z prostym losowaniem - wybierz orła bądź reszkę, a przegrasz lub wygrasz i nie ma innej opcji.

Interesującą informacją jest fakt, iż z drugiego lematu Borela - Cantelliego wynika, że gdyby małpa potrafiła wciskać całkowicie losowo klawisze klawiatury oraz robiła to nieskończenie wiele razy to z prawdopodobieństwem 1 napisze ona w ten sposób Hamleta (i to nieskończenie wiele razy!).

Czy z tego nie wynika, że przy prawdopodobieństwie otrzymania orła \(\displaystyle{ \notin \left\{ 0, 1\right\}}\), gra się kiedyś skończy, tylko nie wiadomo kiedy?

[mat_61]

W tej sytuacji nie tyle żadna metoda nie działa, lecz chyba pozostaje tylko sposób JakimPL, niemający wiele wspólnego z samym rzutem, a z prostym losowaniem - wybierz orła bądź reszkę, a przegrasz lub wygrasz i nie ma innej opcji.

Wg mnie nie ma już co drążyć tego tematu. Może autor powinien wykluczyć w treści zadania takie trywialne przypadki gdy moneta ma orła lub reszkę z obydwu stron ? Gdy tak jest, to jaki związek ma wówczas losowanie z rzucaniem monetą - trzeba raczej zgadnąć jaki znaczek jest na obydwu stronach monety.

Czy z tego nie wynika, że przy prawdopodobieństwie otrzymania orła \(\displaystyle{ \notin \left\{ 0, 1\right\}}\), gra się kiedyś skończy, tylko nie wiadomo kiedy?

Tak, pod warunkiem, że to kiedyś może oznaczać także w nieskończoności. Oczywiście nie ma to żadnego praktycznego przełożenia na rzeczywistość (w takim sensie jak żadna małpa jeszcze nie napisała Hamleta i nie ma żadnego skończonego terminu o którym możemy powiedzieć, że na pewno go do tego czasu napisze).

[clevinger]

Problem sprowadza się do tego, jak mając niesymetryczną monetę wygenerować wyniki rzucania symetryczną moneta. Rzucamy niesymetryczną monetą. Jeżeli na miejscu n i n+1 (n=1,3,5,...)
był wynik (O,R), to taki wynik utozsamiamy z orłem, wynik (R,O) z reszką. Wyniki (O,O), (R,R) -skreślamy.

-- 22 paź 2012, o 17:45 --

A jak użyć niesymetrycznej kostki, do gry w Chińczyka?

[mat_61]

No to napisałeś to co już było wcześniej.
Ostatnie posty w tym wątku dotyczyły kwestii, że nie ma gwarancji, że taki sposób da rozstrzygnięcie w skończonej liczbie rzutów.