Rozkład ujemny dwumianowy -wariancja

[Anna0507]

Mam problem z obliczeniem wariancji z rozkładu ujemnego dwumianowego.
Korzystam z wersji wzoru
\(\displaystyle{ P(X=k)= {r+k-1 \choose k} \cdot (1-p) ^{k} \cdot p ^{r}}\)
Wartość oczekiwana wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{r(1-p)}{p}}\)
prawdopodobnie gdzieś robię błąd w powtórnym zapisaniu do wzoru Newtona
dziękuje za pomoc

[Gadziu]

To masz jakiś dziwny ten wzór, ja znam taki:
\(\displaystyle{ P\left( m;k\right)= {k-1\choose m-1}p ^{m}q ^{k-m}}\)

[Lider Artur]

Przedstaw swój sposób rozwiązania. Razem znajdziemy błąd.

[Anna0507]

\(\displaystyle{ p ^{r} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } k ^{2} \cdot {k+r-1 \choose k} \cdot \left( 1-p\right) ^{k} =p ^{r} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \left( k\right) \cdot \frac{\left( k+r-1\right) !}{\left( k-1\right)! \cdot \left( r-1\right) !} \cdot \left( 1-p\right) ^{k} =p ^{r} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \left( k-1+1\right) \cdot \frac{\left( k+r-1\right) !}{\left( k-1\right)! \cdot \left( r-1\right) !} \cdot \left( 1-p\right) ^{k}= p ^{r} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \left( k-1\right) \cdot \frac{\left( k+r-1\right) !}{\left( k-1\right)! \cdot \left( r-1\right) !} \cdot \left( 1-p\right) ^{k} + p ^{r} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\left( k+r-1\right) !}{\left( k-1\right)! \cdot \left( r-1\right) !} \cdot \left( 1-p\right) ^{k}}\)
następnie w pierwszej sumie k-1 upraszczam
i później muszę wziąć sumę od 0 ale wtedy coś mi się miesza :/