wartość oczekiwana i wariancja

[Gadziu]

Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y= \frac{2x-1}{3}}\) i \(\displaystyle{ Z=1-x-x^{2}}\) jeżeli \(\displaystyle{ E\left( X\right)=5}\); \(\displaystyle{ \sigma _{x}=2}\); \(\displaystyle{ E\left( x^{4}\right)=841,5}\).

[drunkard]

Jeśli chodzi o zmienną losową Y, to wystarczy skorzystać z następujących własności wartości oczekiwanej i wariancji:
\(\displaystyle{ E(aX+b)= aEX+b}\) (1)
\(\displaystyle{ D^{2}(aX+b)=a^{2}D^{2}(X)}\) (2)
Przy liczeniu wartości oczekiwanej zmiennej losowej Z do wyliczenia \(\displaystyle{ EX^{2}}\) przyda się następująca własność:
\(\displaystyle{ D^{2}(X)=EX^{2}-(EX)^{2}}\) (3)
Z wariancją zmiennej Z będzie stosunkowo najtrudniej: po pierwsze oczywiście \(\displaystyle{ D^{2}Z=D^{2}(X+X^{2})}\), po drugie własność (3) trzeba będzie wykorzystać dla \(\displaystyle{ D^{2}X^{2}}\), ale też trzeba będzie skorzystać z faktu, że w ogólności
\(\displaystyle{ D^{2}(X+Y)=D^{2}X+D^{2}Y+2cov(X,Y)}\), a \(\displaystyle{ cov(X,Y)=E(XY)-EXEY}\)
przy czym tu kładziemy \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\).
No ale żeby policzyć kowariancję \(\displaystyle{ cov(X, X^{2})}\) potrzebujemy \(\displaystyle{ E(X^{3})}\).
Ktoś widzi jak to policzyć?

[Gadziu]

Jak dla mnie to tak powinno być chyba...
\(\displaystyle{ V\left( x\right)=\sigma^{2}}\)
\(\displaystyle{ V\left(x\right)=4}\)

\(\displaystyle{ V\left(x\right)=E\left( x^{2}\right)-E^{2}\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ E\left( x^{2}\right)=V\left(x\right)+E^{2}\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ E\left( x^{2}\right)=4+25}\)
\(\displaystyle{ E\left( x^{2}\right)=29}\)

\(\displaystyle{ V\left(x^{2} \right)=E\left(x^{4} \right)-E^{2}\left( x^{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ V\left( x^{2} \right)=0,5}\)

\(\displaystyle{ E\left( \frac{2x-1}{3} \right)= \frac{1}{3}E\left( 2x-1\right)= \frac{1}{3}E\left( 2x\right)-1= \frac{2}{3} \cdot 5-1=2 \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ V\left( \frac{2x-1}{3} \right)=\frac{1}{9}V\left( 2x-1\right)= \frac{1}{9}V\left( 2x\right)=\frac{4}{9}V\left( x\right)=1\frac{7}{9}}\)

\(\displaystyle{ E\left( 1-x-x^{2}\right)=E\left(1 \right)-E\left( x\right)-E\left(x^{2} \right)=1-5-29=-33}\)

\(\displaystyle{ V\left(1-x-x^{2} \right)=V\left(1\right)+V\left( x\right)+V\left( x^{2}\right)=4+0,5=4,5}\)

Zgadza się?

[drunkard]

Gdyby tylko życie było takie proste...

\(\displaystyle{ D^{2}(X+Y)=D^{2}X+D^{2}Y+2cov(X,Y)}\)

Zresztą ten sam problem pojawia się przy \(\displaystyle{ E(X+X^{2})}\)
A raczej trudno posądzać \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ X^{2}}\) o to, by były niezależnymi zmiennymi losowymi...
Może coś przegapiłem, ale osobiście za bardzo nie widzę, jak z tych danych policzyć tę kowariancję.

[Gadziu]

Rozmawiałem z moim wykładowcą i to jest dobrze... Nie wiem, czemu tak dziwnie liczysz kwadrat wariancji...