W kole o promieniu R poprowadzono cięciwy równoległe do danego kierunku. Znajdź
prawdopodobieństwo, że długość losowo wybranej cięciwy jest niewiększa od R, jeśli za jednakowo możliwe przyjmiemy wszystkie położenia punktów przecięcia cięciwy ze średnicą prostopadłą do danego kierunku.
Cieciwy w kole.
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Cieciwy w kole.
problem polega na tym, żeby obliczyć na jakie części dowolna cięciwa o długości R dzieli średnicę koła do niej prostopadłą..
Zauważ teraz, że cięciwa długości R wraz z promieniami tworzy trójkąt równoboczny. Wysokość tego trójkąta należy do średnicy prostopadłej do cięciwy. Wysokość ma długość \(\displaystyle{ \frac{R\sqrt{3}}{2}}\).
Zatem odcinek od cięciwy do okręgu, pokrywający się z średnicą prostopadłą do cięciwy ma długość \(\displaystyle{ R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}}\). Średnica ta jest z dwóch stron ograniczona cięciwami długości R, a łączna długość odcinków od cięciw do okręgu wynosi: \(\displaystyle{ R(2-\sqrt{3})}\)
Prawdopodobieństwo to będzie zatem wynosiło:
\(\displaystyle{ \frac{R(2-\sqrt{3})}{2R}= \frac{2-\sqrt{3}}{2}}\)
Zauważ teraz, że cięciwa długości R wraz z promieniami tworzy trójkąt równoboczny. Wysokość tego trójkąta należy do średnicy prostopadłej do cięciwy. Wysokość ma długość \(\displaystyle{ \frac{R\sqrt{3}}{2}}\).
Zatem odcinek od cięciwy do okręgu, pokrywający się z średnicą prostopadłą do cięciwy ma długość \(\displaystyle{ R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}}\). Średnica ta jest z dwóch stron ograniczona cięciwami długości R, a łączna długość odcinków od cięciw do okręgu wynosi: \(\displaystyle{ R(2-\sqrt{3})}\)
Prawdopodobieństwo to będzie zatem wynosiło:
\(\displaystyle{ \frac{R(2-\sqrt{3})}{2R}= \frac{2-\sqrt{3}}{2}}\)