20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymow

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
itosu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 8 sty 2006, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wol
Podziękował: 3 razy

20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymow

Post autor: itosu »

Witam!

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania (poziom rozszerzony):

Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że 20 mężczyzn na
1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymowy. Spośród 20 losowo wybranych osób — 10 kobiet 10 mężczyzn wybrano (także losowo) jedną osobę. Okazało się, że nie posiada ona wady wymowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna?

Pozdrawiam!

(Dodam, ze odpowiedz powinna wyjsc: 70/141)
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2007, o 09:55 przez itosu, łącznie zmieniany 1 raz.
beel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 30 lis 2005, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymow

Post autor: beel »

\(\displaystyle{ A_1=10}\) chłopców
\(\displaystyle{ A_2=10}\) dziewczynek

Losowanie pomiędzy płcią (kobietą, a mężczyzną), określmy więc prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(A_1)=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A_2)=\frac{1}{2}}\)

Zaś prawd. tego, że nie ma wady wynosi:
mezczyzna: \(\displaystyle{ \frac{49}{50}, 1-\frac{20}{1000}}\)
kobieta: \(\displaystyle{ \frac{497}{500}, 1-\frac{3}{500}}\)

B - wylosowana osoba to mężczyzna

Układ ten jest układem zupełnym zdarzeń więc możemy zastosować wzór Bayesa:
\(\displaystyle{ P(A_2/B)=\frac{P(A_2)\cdot P(B/A_2)}{P(A_1)\cdot P(B/A_1) + P(A_2)\cdot P(B/A_2)}=\frac{\frac{49}{50}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{497}{500}\cdot \frac{1}{2}+\frac{49}{50}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{49}{100}}{\frac{497+490}{1000}}=\frac{\frac{49}{100}}{\frac{987}{1000}}=\frac{49}{100}\cdot \frac{1000}{987}=\frac{490}{987}=\frac{70}{141}}\)
itosu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 8 sty 2006, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wol
Podziękował: 3 razy

20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymow

Post autor: itosu »

Wielkie dzieki
beel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 30 lis 2005, o 20:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymow

Post autor: beel »

Tylko tam gdzie stosuje wzór Bayesa powinno być \(\displaystyle{ P(A_1/B)=..}\) skoro tak określiłem chłopców/mężczyzn. Ale wynik i rozwiązanie oczywiście jest poprawne.

pzdr
ODPOWIEDZ