Schemat Bernoulliego.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Schemat Bernoulliego.

Post autor: _Mithrandir »

W książce "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa" Jakubowskiego i Sztencla w rozdziale o warunkowej wartości oczekiwanej jest taki przykład:

Obliczymy wartość oczekiwaną liczby rzutów monetą aż do otrzymania \(\displaystyle{ n}\) orłów pod rząd. Orzeł w pojedynczym rzucie wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0 < p \le 1}\).

Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza wymaganą liczbę rzutów, niech \(\displaystyle{ Y_i = 1}\) (odp. \(\displaystyle{ Y_i = 0}\)), gdy w \(\displaystyle{ i}\)-tym rzucie wypadł orzeł (odp. reszka). Wtedy:

\(\displaystyle{ X = \min \{ k \ge n : Y_{n - k + 1} = 1, \dots , Y_k = 1 \}}\)

(pomijam wykazywanie, że \(\displaystyle{ EX < \infty}\))

Zdefiniujemy teraz zdarzenia

\(\displaystyle{ A_k = \{ Y_1 = Y_2 = \dots = Y_k = 1, Y_{k+1} = 0 \}, \; k = 0, 1, \dots, n-1}\),

oraz

\(\displaystyle{ A_n = \{ Y_1 = \dots = Y_n = 1 \}}\)

(zdarzenie \(\displaystyle{ A_k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k \le n-1}\) polega na tym, że pierwsza reszka pojawiła się w \(\displaystyle{ k+1}\)-szym rzucie; \(\displaystyle{ A_n}\) - że po \(\displaystyle{ n}\)-tym). Stanowią one rozbicie przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\) [moje pytanie nr 1: czemu?] i mamy równanie

\(\displaystyle{ EX = \sum\limits_{i = 0}^n E(X|A_i) P(A_i) \stackrel{(*)}{=}\sum\limits_{l=0}^{n-1}(l + EX)p^{l-1}(1-p) + np^n}\)

Rozwiązując je, otrzymujemy

\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n}}\).

Pytanie 2: skąd równość (*)?

Próbowałem to zrobić dla \(\displaystyle{ n=2}\) (bo dla takiego \(\displaystyle{ n}\) potrzebuję). O ile dobrze zrozumiałem, to w moim przypadku:

\(\displaystyle{ X = \min \{ k \ge 2 : Y_{k-1} = 1, Y_k = 1 \}}\)

\(\displaystyle{ A_0 = \{Y_1 = 0\}}\)
\(\displaystyle{ A_1 = \{Y_1 = 1, Y_2 = 0\}}\)
\(\displaystyle{ A_2 = \{Y_1 = Y_2 = 1\}}\)

Ale nie mam pojęcia jak mam tu skorzystać w wzoru (*). Może ktoś coś poradzić?
ODPOWIEDZ