Budowanie trójkąta z odcinków

[Kanodelo]

Z odcinka <0,1> wybieramy losowo punkty x,y,z. Oblicz prawdopodobieństwo, że z tych odcinków można zbudować trójkąt.

[drunkard]

Jeśli dobrze rozumiem to próbujemy zbudować trójkąt z odcinków o długościach, które są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,1). Jeśli tak, to najprościej będzie to rozwiązać graficznie: przestrzenią zdarzeń elementarnych jest sześcian o boku 1, a więc szukanym prawdopodobieństwem będzie objętość bryły wyznaczonej nierównościami x+y>z, x+z>y i z+y>x. Jeśli nic nie pomyliłem, to jest to czworościan foremny, którego krawędziami są przekątne boków sześcianu. Zatem długość krawędzi czworościanu to \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\), a jego objętość to:
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=\frac{1}{3}}\)
PS.
Jednak pomyliłem, bo czworościan musiałby być ograniczony czterema płaszczyznami, a tutaj mamy tylko trzy - dochodzi ostrosłup od strony narożnika (1,1,1) sześcianu, którego objętość wynosi 1/6, więc łączna objętość i prawdopodobieństwo to 1/2.