Witajcie, mam problem,zeby ruszyć z rozwiązaniem tej sumy.
Jak duże musi być n, aby: \(\displaystyle{ \sum_{k=50}^{n} {n\choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k} = \frac{99}{100}}\) ?
kazda podpowiedz mile widziana;)
suma szeregu,a dwumian
-
Lider Artur
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
suma szeregu,a dwumian
Co Ci to przypomina? Wzór dwumianowy Newtona.
\(\displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k}\)
gdzie \(\displaystyle{ y=\frac{19}{20}}\), a \(\displaystyle{ x=\frac{1}{20}}\)
Jest to duża wskazówka. Pomyśl, jak ją wykorzystać.
\(\displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k}\)
gdzie \(\displaystyle{ y=\frac{19}{20}}\), a \(\displaystyle{ x=\frac{1}{20}}\)
Jest to duża wskazówka. Pomyśl, jak ją wykorzystać.
suma szeregu,a dwumian
Korzystając z dwumianu Newtona dostaję, że
\(\displaystyle{ 1^n = {(\frac{19}{20} + \frac{1}{20})^{n}} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k}}\)
Rozbijam na dwie sumy.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k} + \sum_{k=50}^{n} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k}}\)
No i teraz wiem, że ta druga suma ma się równać 99% więc ta pierwsza 1%.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k} = \frac{1}{100}}\)
Przekształcam to do innej postaci, ale dalej nie mogę tego ruszyć.
\(\displaystyle{ \frac{1}{100} = \sum_{k=0}^{50} \frac{n!*19^{k}}{k!*(n-k)!*20^{k}*20^{n-k}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{100} = (\frac{n!}{20^{n}})\sum_{k=0}^{50} \frac{19^{k}}{k!*(n-k)!}}\)
Dobrze się do tego zabieram?
\(\displaystyle{ 1^n = {(\frac{19}{20} + \frac{1}{20})^{n}} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k}}\)
Rozbijam na dwie sumy.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k} + \sum_{k=50}^{n} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k}}\)
No i teraz wiem, że ta druga suma ma się równać 99% więc ta pierwsza 1%.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {n \choose k} (\frac{19}{20})^{k}(\frac{1}{20})^{n-k} = \frac{1}{100}}\)
Przekształcam to do innej postaci, ale dalej nie mogę tego ruszyć.
\(\displaystyle{ \frac{1}{100} = \sum_{k=0}^{50} \frac{n!*19^{k}}{k!*(n-k)!*20^{k}*20^{n-k}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{100} = (\frac{n!}{20^{n}})\sum_{k=0}^{50} \frac{19^{k}}{k!*(n-k)!}}\)
Dobrze się do tego zabieram?
-
Lider Artur
- Użytkownik
- Posty: 692
- Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 107 razy
suma szeregu,a dwumian
Wszystko to co napisałeś jest jak najbardziej prawdziwie. Tylko póki co trudno z tej postaci wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\)...
suma szeregu,a dwumian
No właśnie. Więc ta postać \(\displaystyle{ 1^n}\) wcale nie pomogła. Ma ktoś jakiś pomysł jak to ugryźć?