Dana jest zmienną losową X o gęstości, oblicz stałą C

[Manug]

Witam,

proszę o sprawdzenie i ew. uwagi do rozwiązania:

Dana jest zmienna losowa X o gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} 0 dla x <-1 \ C cdot x^{2} dla x in left[ -1;0) \ x^{3} dla x in left[ 0;1) \ 0 dla x ge 1 end{cases}}\)

a) oblicz stałą C
b) Niech F(a) oznacza wartość dystrybuanty zmiennej losowej X w punkcie a. Oblicz F(0.5)

Ad a)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }f\left( x \right) \mbox{d}x = \int_{-1}^{0}C \cdot x^{2} \mbox{d}x \ + \ \int_{0}^{1} x^{3} \mbox{d}x \ = \left \frac {C \cdot \ x^{3}}{3} \right| ^{0} _{-1} \ + \left \frac{x^{4}}{4} \right| ^{1} _{0} \ =}\)

\(\displaystyle{ = \ 0 \ - \frac{-C}{3} \ + \frac{1}{4} = 1}\)

\(\displaystyle{ \ C \ = \ \frac{9}{4}}\)

Ad b)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0,5}f\left( x \right) \mbox{d}x = \int_{-1}^{0}\frac{9 \cdot x^{2}}{4} \mbox{d}x \ + \ \int_{0}^{0,5} x^{3} \mbox{d}x \ = \left \frac {3 \cdot \ x^{3}}{4} \right| ^{0} _{-1} \ + \left \frac{x^{4}}{4} \right| ^{0,5} _{0} \ =}\)

\(\displaystyle{ = \ 0 \ - \frac{-3}{4} \ + \frac{1}{16 \cdot 4}\ = \ \frac{49}{64}}\)

\(\displaystyle{ \ F(0,5) \ = \ \frac{49}{64}}\)

Pozdrawiam
ManuG

poprawiłem ową literówkę, dziękuję.

[Nakahed90]

Poza małą literówką w podpunkcie a) jest dobrze.