splot dwóch niezależnych zmiennych losowych

[matmastosowana]

Mam zadanie, którego celem jest wyznaczenie \(\displaystyle{ P(X+Y \in \left[1,2 \right] )}\), przy czym mam dane:
\(\displaystyle{ P(X=0)=0,8 , P(X=1)=0,1 , f_{x}(x)=0,1 , x \in \left(0,1 \right)}\)
\(\displaystyle{ P(Y=0)=0,7 , P(Y=2)=0,1 , f_{y}(x)=0,1 , x \in \left(0,2 \right)}\)
oraz X i Y są niezależne.

Mam rozwiązanie tego zadania, ale go nie rozumiem
Opiszę może jak je robiliśmy, i gdyby ktoś mi wyjaśnił to byłoby super.

1. oczywiście z def. splotu mamy: \(\displaystyle{ Z=X+Y \Rightarrow F_{z}\left(z \right) = \int_{- \infty }^{ \infty } F_{1}(w-x) \mbox{d} F_{2}\left(x \right)}\)
2. następnie wyznaczyliśmy dystrybuanty, tylko nie bardzo rozumiem jak, możliwe że czegoś nie pamiętam, ale w każdym razie wyszło, że \(\displaystyle{ P\left( X \le x\right)=0,8+0,1x}\) oraz \(\displaystyle{ P\left(Y \le y \right) =0,7+0,1y}\)
3. potem: \(\displaystyle{ P\left( 1 \le X+Y \le 2\right) =P\left( X+Y \le 2\right) - P\left( X+Y<1\right)}\) - to ok,rozumiem
4.na koniec wyznaczyliśmy oba prawdopodobieństwa + \(\displaystyle{ P\left( X+Y=1\right)}\)
a) \(\displaystyle{ P\left( X+Y \le 2\right)= \int_{0}^{1} 0,1 \mbox{d}x + \int_{1}^{2} \left( 0,8+0,1\left( 2-x\right) \right) 0,1 \mbox{d}x +1 \cdot 0,7+0,8 \cdot 0,1 =...=0,965}\) - dlaczego akurat tak?
b) \(\displaystyle{ P\left( X+Y<1\right)= \int_{0}^{1} \left( 0,8+0,1\left( 1-x\right) \right) 0,1 \mbox{d}x +0,7 \cdot 1=...=0,785}\) również nie rozumiem dlaczego akurat taka całka
c) \(\displaystyle{ P\left( X+Y=1\right)=P\left( X=x\right) \cdot P\left( Y=1-X\right)=0,8 \cdot 0+0+0,7 \cdot 0,1=0,07}\)
5) wynik \(\displaystyle{ = 0,965-0,785+0,07=0,25}\)
Za wszelkie sugestie będę bardzo wdzięczna!!!