Określenie sigma ciała

józef92 · Post autor: **józef92** » 3 lis 2011, o 16:05

Określ następujące sigma ciało w przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega=\{a,b,c\}}\)

a) najmniejsze sigma ciało \(\displaystyle{ B(\Omega)}\) zawierające zbiór \(\displaystyle{ \{a,c\}}\)

Proszę o wskazówki i ciągnięcie za język.

jetix · Post autor: **jetix** » 3 lis 2011, o 16:32

Wydaje mi się, że jeżeli \(\displaystyle{ \Omega=\{a,b,c\}}\):

\(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})=\{\emptyset,\Omega,\{a,c\},\{b\}\}}\)

gdyż takie \(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})}\) spełnia trzy warunki definicji sigma ciała.

EDIT: Pomyliłem literki...

józef92 · Post autor: **józef92** » 3 lis 2011, o 16:33

A moglibyśmy te zadanie zrobić wspólnie po kolei? Od czego zacząć? Od sprawdzenia warunków jakie winno spełniać sigma - ciało?

jetix · Post autor: **jetix** » 3 lis 2011, o 16:40

Musisz skonstruować sigma ciało:

Najmniejsze sigma ciało zawierające zbiór \(\displaystyle{ \{a,c\}}\)

No to już wiesz, że na pewno:

\(\displaystyle{ \{a,c\}\in \sigma(\{a,c\})}\)

Skoro tak, to z warunku drugiego na sigma ciało masz, że \(\displaystyle{ Ainsigma({a,c})[ Rightarrow A'insigma({a,c})[}\)

Stąd wiesz, że

\(\displaystyle{ \{b\}\in \sigma(\{a,c\})}\)

Ponadto z warunku 1 i 2 na sigma ciało wiesz, że

\(\displaystyle{ \emptyset\in \sigma(\{a,c\})}\) oraz \(\displaystyle{ \Omega\in \sigma(\{a,c\})}\)

I zostaje jeszcze warunek 3, a więc jeżeli elementy należą do sigma ciała to ich suma musi należeć do sigma ciała. U Ciebie na razie:

\(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})=\{\emptyset,\Omega,\{a,c\},\{b\}\}}\)

Należy sprawdzić czy jak weźmiesz dowolne dwa elemnty z Twojego \(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})}\) to ich suma należy do \(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})}\). Jeżeli tak to stop. Jeżeli nie to musisz coś dorzucić do \(\displaystyle{ \sigma(\{a,c\})}\)/ U Ciebie stop.

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 13:40

Nie rozumiem 3 sytuacji

-- 4 listopada 2011, 15:22 --

No i z drugiego warunku wiem, że

\(\displaystyle{ A \in \sigma \Rightarrow \Omega \setminus A \in \sigma}\)

Czyli u mnie

\(\displaystyle{ \{a,c\} \in \sigma \Rightarrow (\{a,b,c\} \setminus \{a,c\} ) \in \sigma \Rightarrow \{b\}}\)

więc nie wiem dlaczego całe omega....

Jak na razie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \sigma \in \{\{a,c\},\{b\},pusty\}}\)-- 4 listopada 2011, 15:55 --Dodatkowo przeczytałem na wikipedii iż rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X – jest to najmniejsze σ-ciało określone na X,

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 16:37

No ale \(\displaystyle{ \emptyset \in \sigma \Rightarrow \Omega \setminus \emptyset \in \sigma}\)

Oczywiście: \(\displaystyle{ \Omega \setminus \emptyset=\Omega}\)

Co do drugiej uwagi to jeżeli \(\displaystyle{ \Omega=X}\) to to jest prawda. Problem jest wtedy gdy \(\displaystyle{ X\subset\Omega}\), wówczas trzeba zrobić tak by 3 warunki z definicji sigma ciała były spełnione.