Procesy stochastyczne

[Piotr Rutkowski]

Witam,

Po dłuższej przerwie wracam na forum, ale tym razem będę miał definitywną potrzebę pomocy z całą serią zadań. W tym semestrze rozpocząłem procesy stochastyczne (jednocześnie robiąc do nich przedmiot przygotowawczy) i bez wątpienia przyznaję, że jest to jeden z najcięższych przedmiotów z jakimi dane mi było się spotkać. Prosiłbym o wskazówki, wyjaśnienia i ewentualnie rozwiązania do tych zadań. Część z nich została przeze mnie zrobiona, lecz aparatura matematyczna, którą się w niej posługuję jest dla mnie relatywnie nowa (pomimo bardzo intensywnego kursu rachunku prawdopodobieństwa) i nie czuję isę pewnie w tematyce:

1.
W pewnej przestrzeni probabilistycznej z filtracją, W jest procesem Wienera względem tej filtracji, a X spełnia równanie stochastyczne:
\(\displaystyle{ dX_{t}=b(t,X_{t})dt+\sigma (t,X_{t})dW_{t}}\) z warunkiem \(\displaystyle{ X_{0}=x \ t\leq T}\)

Pokazać, że \(\displaystyle{ \forall_{t\in <0,T> \ B\in \mathcal{F}^{X}_{i}}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(B|\mathcal{F}^{W}_{T})=P(B|\mathcal{F}^{W}_{t})}\)

2.
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie procesem Wienera, \(\displaystyle{ Y\in \Lambda ^{2}(V)}\) oraz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}Y_{s}^{2}ds=\infty}\) prawie na pewno. Niech \(\displaystyle{ M=\int YdV \ , \tau _{t}=inf\{s\geq 0:<M>_{s} \ >t\} \ W_{t}=M_{\tau _{t}}}\) Pokazać, że wtedy dla \(\displaystyle{ Z\in \Lambda ^{2}(V)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\tau _{t}}Z_{s}dV_{s}=\int\limits_{0}^{t}Z_{\tau _{s}}Y_{\tau _{s}}^{-1}dW_{s}}\)



Pierwsze jest wg mnie robialne, ale 2 jest daleko poza moim zasięgiem.
Pozdrawiam

[jetix]

W pierwszym przeszedłbym na warunkowe wartości oczekiwane i pokazał, że lewa strona równości jest dobrą wersją wartości oczekiwanej prawej strony. Chociaż chyba nie do końca dobrze przepisałeś treść tego zadania.

W drugim najpierw musisz wyjaśnić oznaczenia tych przestrzeni.