Zbieżność rozkładów (chyba)

[_madame_]

Zadanko jet następujące:
Zmienne losowe aX + b oraz gX +h mają taki sam rozkład, \(\displaystyle{ a,b,g,h \in R}\); \(\displaystyle{ a,g \ge 0,}\) X nie jest jednopunktowa (tzn. ma rozkład inny niż delta Diraca w punkcie). Udowodnić, że stąd wynika, że a=g i b=h.

Próba rozwiązania:
Wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ t \in R}\) \(\displaystyle{ P(aX+b \le t) = P(gX+h \le t)}\), stąd \(\displaystyle{ P(X \le \frac{t-b}{a}) = P(X \le \frac{t-h}{g})}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0 \neq g}\). (dla a=0=g nie ma problemu). Jeśliby stąd wynikało, że \(\displaystyle{ \frac{t-b}{a}= \frac{t-h}{g}}\), to też nie ma problemu. Ale moim zdaniem to wynikanie zachodzi tylko w przypadku, gdy dystrybuanta X jest ściśle rosnąca (i jeszcze prawe strony muszą należeć do przedziału [0,1]).

Co w pozostałych przypadkach? Czy ktoś potrafi mi pomóc?
Pozdrawiam.

[jetix]

Ale moim zdaniem to wynikanie zachodzi tylko w przypadku, gdy dystrybuanta X jest ściśle rosnąca (i jeszcze prawe strony muszą należeć do przedziału [0,1]).

Dlaczego? Uzasadnij proszę swoje rozumowanie.

[Piotr Rutkowski]

Wystarczy żeby była ściśle rosnąca na pewnym przedziale...