Prawdopodobieństwo geometryczne

[august6]

Niech \(\displaystyle{ \Omega= R}\)oraz niech F bedzie signama ciałem generowanym przez rodzinę \(\displaystyle{ [a, infty}\) ), \(\displaystyle{ a\in R}\). Udowodnij, że do F należy \(\displaystyle{ (-\infty ,2]}\).

[szw1710]

Do sigma-ciała zawsze należą dopełnienia zbiorów, więc \(\displaystyle{ [2,infty)in Fimplies (-infty,2)in F.}\) Ponadto iloczyny przeliczalnie wielu zbiorów też należą do \(\displaystyle{ F}\), więc każdy przedział postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\) należy do \(\displaystyle{ F}\). Teraz

\(\displaystyle{ {a}=igcap_{ninmathbb{N}}left[a-frac{1}{n},a+frac{1}{n}
ight),}\)

więc singletony należą do \(\displaystyle{ F}\). Zatem \(\displaystyle{ \{2\}\in F.}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ (-\infty,2]=(-\infty,2)\cup\{2\}\in F.}\)