Książka a nauczycielka

[Wera3]

Witam, nie było mnie w szkole, uzupełniając lekcję rozwiązywałam sama zadania, ale zauważyłam różnicę między przykładami z książki, a tym co koleżanka miała w zeszycie. Zapytałam, ale jak się okazuje nikt nie wie dlaczego pani uznała sposób liczenia podany w podręczniku za zły i kazała liczyć inaczej.

Przykład brzmiał:
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli.

Doświadczenie polega na wylosowaniu dwóch spośród 52 kart, zatem:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {52 \choose 2}=1326}\)

Zdarzenie A polega na wylosowaniu 4 króli. W talii są 4 króle, więc:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {4 \choose 2}=6}\)

Stąd \(\displaystyle{ P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}= \frac{1}{221}}\)

Z kolei ćwiczenie tuż pod tym przykładem brzmiało:
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania samych asów.
Na mój rozum należałoby to liczyć analogicznie do przykładu, bo zadanie polega na tym samym. Jednak z tego, co się dowiedziałam, kiedy właśnie w ten sposób dziewczyny zaczęły liczyć to pani powiedziała, że ten sposób jest zły i należy to liczyć tak:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= 52*51*50=132600}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= 4*3*2=24}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4}{663}}\)

Dlaczego sposób z przykładu jest "zły"?

[Lider Artur]

Nie wiem czemu Twoja Pani uznała to za błędny sposób.
Może problem w tkwi w szczegółach.
W pierwszym zadaniu, wyciągamy od razu 2 karty.
Natomiast w drugim sytuacja wygląda tak, jakbyśmy po kolei wyciągali karty, tj. np. pierwszą kartę, potem drugą i na końcu trzecią.

[Wera3]

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli.
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania samych asów.

Na moje oko to to samo... i nie bardzo rozumiem Twojego toku rozmumowania. Nie dostrzegam różnicy w powyższych zdaniach, bo dla mnie jest tam jedynie zamiana dwóch kart na trzy króli na asy. Poza tym, czy byłaby to jakaś różnica, czy wyciągniemy dwie za jednym zamachem, czy po kolei?

Dodam tylko, że prawdopodobieństwo przy użyciu obu sposobów wynosi tyle samo. Ciekawi mnie po prostu dlaczego to jest zły sposób, skoro wynik jest dobry...

[mat_61]

Podany w przykładzie sposób jest jak najbardziej dobry.

Oczywiście formalnie wszystko zależy od tego jak zdefiniujemy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jeżeli za wynik doświadczenia uznamy 3-elementowy zbiór, to poprawne jest rozwiązanie z przykładu, natomiast jeżeli za wynik doświadczenia uznamy 3-elementowy ciąg, to poprawne jest rozwiązanie podane przez nauczycielkę.
Z treści zadania nie wynika w najmniejszym stopniu zasadność zastosowania drugiego sposobu.

Wynik rozwiązania będzie w obydwu przypadkach taki sam. Bo dla ciągów zarówno moc zbioru Omega jak i moc zbioru A zwiększą się \(\displaystyle{ 3!}\) razy.

Żeby nie było wątpliwości to podany przez Ciebie wynik jest niepoprawny, ponieważ:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{24}{132600} \neq \frac{4}{663}}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{24}{132600} =\frac{1}{5525}}\)

A jak łatwo zauważyć jest to to samo co:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {4 \choose 3} }{ {52 \choose 3} } = \frac{4}{22100} =\frac{1}{5525}}\)

[Wera3]

A faktycznie, mój błąd. Przy przepisywaniu spojrzałam na inny przykład w tym miejscu. Dziękuję bardzo!