Przestrzeń probabilistyczna dowód

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ (\Omega,F,P)}\) będzie przestszenią probabilistyczną oraz \(\displaystyle{ A_1,A_2,...\in F}\) będą dowolnymi zdarzeniami.
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ A_1\supset A_2\supset A_3\supset ...\supset A_n \supset A_{n+1}\supset ...}\) to:
\(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \right) = \lim_{n \to \infty }P(A_n)}\)

[Lider Artur]

jest to tzw. ciągłość z góry prawdopodobieństwa:
Niech \(\displaystyle{ (A_i)^c}\) - dopełnienia \(\displaystyle{ A_i}\), czyli są to zbiory wstępujące.
I teraz:
\(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \right)=P\left( \left(\ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c}\right)^c \right)=1-P \left(\ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\right)=(*)}\)
i teraz korzystamy z ciągłości z dołu prawdopodobieństwa, a wiec jeśli \(\displaystyle{ A_n}\) jest ciągiem wstępujący to \(\displaystyle{ P \left(\ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)= \lim_{n \to \infty} P(A_n)}\).
Wracając do \(\displaystyle{ (*)}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1-\lim_{n \to \infty} P(A_n^c)=1-\lim_{n \to \infty}(1- P(A_n))=\lim_{n \to \infty} P(A_n)}\).

By to pokazać, skorzystaliśmy z ciągłości z dołu prawdopodobieństwa.
Ją się w miarę łatwo pokazuje konstruując odpowiednie zbiory.

[gugusiia]

A jak właśnie pokazać ciągłość z dołu prawdopodobieństwa?

[Kartezjusz]

Mówi ci coś termin "urozłącznianie zbiorów"?

[gugusiia]

Niewiele..

[Kartezjusz]

Masz ciąg zbiorów wstępujących. \(\displaystyle{ (A_{n})_{n \in N}}\) Wówczas rozważmy zbiory
tworzone następująco:
\(\displaystyle{ B_{1}=A_{1}}\)
\(\displaystyle{ B_{n}=A_{n} \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1}B_{i}}\)
Pokaż ,że \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}}\)
oraz ,że zbiory \(\displaystyle{ B_{i}}\) są parami rozłączne