Pokazać, że rodzina jest sigma ciałem

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ f:\Omega \to \mathbb{R}}\). Pokazać że rodzina \(\displaystyle{ \sigma(f)=\left\{ f^{-1}(A):A\in\textbf{Bor} \right\}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

[miodzio1988]

Co to jest sigma ciało? Podaj nam warunki i powiedz jaki mas problem ze sprawdzeniem ich

[Jan Kraszewski]

Definicja \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała + własności przeciwobrazu.

JK

[Kanodelo]

W takim razie pierwszy warunek
\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x\in\Omega:f(x)\in A\right\} \\
\emptyset=f^{-1}\left( \emptyset\right)\in \sigma(f)}\)
i na tym koniec...?

Drugi:
\(\displaystyle{ \left( f^{-1}(A)\right)'=f^{-1}\left( \mathbb{R} \setminus A\right)}\)
ale na jakiej podstawie mam stwierdzić, że to należy do \(\displaystyle{ \sigma(f)}\)?

Trzeci:
\(\displaystyle{ f^{-1}(A)\in\sigma(f) \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}f^{-1}(A_n)\in \sigma(f)}\)
Ale jak mam pokazać, że ta suma też należy?

[Jan Kraszewski]

W takim razie pierwszy warunek
\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=\left\{ x\in\Omega:f(x)\in A\right\} \\
\emptyset=f^{-1}\left( \emptyset\right)\in \sigma(f)}\)
i na tym koniec...?

Tak.

Drugi:
\(\displaystyle{ \left( f^{-1}(A)\right)'=f^{-1}\left( \mathbb{R} \setminus A\right)}\)
ale na jakiej podstawie mam stwierdzić, że to należy do \(\displaystyle{ \sigma(f)}\)?

Trzeci:
\(\displaystyle{ f^{-1}(A)\in\sigma(f) \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}f^{-1}(A_n)\in \sigma(f)}\)
Ale jak mam pokazać, że ta suma też należy?

Jakie znasz własności przeciwobrazu (znowu Wstęp do matematyki się kłania...)?

JK