Pokazać, że sigma-ciała są równe

[Kanodelo]

Niech
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}, \\ A=\left\{ 1,2,3,4\right\}, \\ B=\left\{ 3,4,5\right\}, \\ C=\left\{ 5,6,7,8\right\}, \\ D=\left\{ 1,2\right\}, \\ E=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\)
Pokazać że \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right) =\sigma\left( \left\{ C,D,E\right\} \right)}\).

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right)}\)

wiesz co oznacza taki zapis? Jak tak to jaki jet problem?

[Kanodelo]

Właśnie nie wiem, czy to wogóle dobrze rozumiem, na przykład \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right)}\) to będzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 1,2,3,4\right\},\left\{ 3,4,5\right\},\left\{ 5,6,7,8\right\},\left\{ 1,2,6,7,8\right\} \right\}}\)

???

[Jan Kraszewski]

Właśnie nie wiem, czy to wogóle dobrze rozumiem, na przykład \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right)}\) to będzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 1,2,3,4\right\},\left\{ 3,4,5\right\},\left\{ 5,6,7,8\right\},\left\{ 1,2,6,7,8\right\} \right\}}\)

???

Za mało zbiorów.

JK

[Kanodelo]

Racja, powinna być jeszcze suma \(\displaystyle{ A\cup B}\), czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\) oraz jej dopełnienie \(\displaystyle{ \left\{ 6,7,8\right\}}\) tylko nie wiem czy to już wszystko.

[Jan Kraszewski]

Nie. Kontynuuj w tym duchu.

JK

[Kanodelo]

No już naprawdę nie wiem, zbiór pusty należy, suma zbiorów należy i wszystkie dopełnienia wszystkich zbiorów też już wypisałem, więc nie wiem co jeszcze może być.

[Jan Kraszewski]

Jest \(\displaystyle{ \{3,4,5\}}\), jest \(\displaystyle{ \{6,7,8\}}\)...

JK

[Kanodelo]

No to \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right)}\)
należy zbiór pusty i omega, A,B oraz ich dopełnienia, suma A i B oraz jej dopełnienie
\(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,3,4\right\}}\) dopełnienie \(\displaystyle{ A'=\left\{ 5,6,7,8\right\}}\)
\(\displaystyle{ B=\left\{ 3,4,5\right\}}\) dopełnienie \(\displaystyle{ B'=\left\{ 1,2,6,7,8\right\}}\)
suma \(\displaystyle{ A\cup B=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\) i jej dopełnienie \(\displaystyle{ \left( A\cup B\right)'=\left\{ 6,7,8\right\}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ A,B\right\} \right)=\left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 1,2,3,4\right\},\left\{ 5,6,7,8\right\},\left\{ 3,4,5\right\},\left\{ 1,2,6,7,8\right\} ,\left\{ 1,2,3,4,5\right\} ,\left\{ 6,7,8\right\} \right\}}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ C,D,E\right\} \right)}\)=
\(\displaystyle{ \left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 5,6,7,8\right\},\left\{ 1,2\right\},\left\{ 1,2,3,4,5\right\},\left\{ 1,2,3,4\right\},\left\{ 3,4,5,6,7,8\right\},\left\{ 6,7,8\right\} \right\}}\)
sumą \(\displaystyle{ C \cup D \cup E}\) jest omega, więc drugi raz jej nie piszę

W każdym razie wychodzi, że to nie jest równe. Nie wiem co robie źle.

[Jan Kraszewski]

Nie wypisujesz wszystkich zbiorów, np. w pierwszym brakuje \(\displaystyle{ \{3,4,5\}\cup\{6,7,8\}}\).

Dużo prościej zrobić to zadanie pokazując, że generatory pierwszego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała należą do drugiego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała i na odwrót, że generatory drugiego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała należą do pierwszego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała.

JK