Pokazać, że iloczyn jest sigma-ciałem

[Kanodelo]

No wiem, ale nie wiem czy można sobie tak nałożyć na to sumę i też będzie działało.

[Jan Kraszewski]

Na co nałożyć? Co będzie działało?

Nie odpowiedziałeś na moje pytanie.

JK

[Kanodelo]

Na które pytanie? Na to?

A czy wiesz, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb N}\) masz \(\displaystyle{ A_n^\prime\in\mathcal{F}}\)?

JK

No wiem, że \(\displaystyle{ A_n^\prime\in\mathcal{F}}\) jeśli \(\displaystyle{ A_n\in\mathcal{F}}\), tylko nie wiem, czy z tego wynika, że również \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\mathbb N}A_n^\prime \in\mathcal{F}}\) jeśli \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\mathbb N}A_n \in\mathcal{F}}\)

[Jan Kraszewski]

Masz istotnie problem, bo w ogóle nie rozumiesz definicji, tylko myślisz znaczkami. Trzeci warunek definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała mówi, że suma dowolnej przeliczalnej rodziny zbiorów z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała jest elementem \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała.

Czy w tym zadaniu \(\displaystyle{ \{A_n^\prime:n\in\mathbb N\}}\) jest przeliczalną rodziny zbiorów z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała?

JK

[Kanodelo]

Myślę, że jest...

[Jan Kraszewski]

Myślisz, czy wiesz? Powinieneś być o tym przekonany.

Czy w związku z tym \(\displaystyle{ A_n^\prime\in\mathcal{F}}\)?

JK

[Kanodelo]

To wystarczy w takim razie napisać takie coś:
Jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}}\) oraz \(\displaystyle{ A_n'\in\mathcal{F}}\) to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\). A jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\) to także \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\right) '\in\mathcal{F}}\).
I koniec dowodu?

[Jan Kraszewski]

To wystarczy w takim razie napisać takie coś:
Jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}}\) oraz \(\displaystyle{ A_n'\in\mathcal{F}}\) to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\). A jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\) to także \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\right) '\in\mathcal{F}}\).
I koniec dowodu?

Niezupełnie. Powinieneś wyraźnie zaznaczać, co jest założeniem, a co wnioskiem.

Powinieneś napisać

Jeżeli \(\displaystyle{ A_n\in\mathcal{F}}\), to wtedy \(\displaystyle{ A_n'\in\mathcal{F}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb N}\). Wówczas także \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\). A jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\in\mathcal{F}}\), to także \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty A_n=\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n'\right) '\in\mathcal{F}}\).

JK