Bardzo prosze o pomoc w zadaniu:
Znalezc funkcje charakterystyczna zmiennej losowj X o rozkladzie:
\(\displaystyle{ P(X=k)=a^{k}(1+a)^{-(k+1)}}\)
gdzie a>0,k=0,1,2,... a nastepnie przy jej pomocy obliczyc \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ D^{2}X}\)
funkcja charakterystyczna
-
abrasax
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 161 razy
funkcja charakterystyczna
funkcja charakterystyczna:
\(\displaystyle{ \Phi (t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{itk} P(X=k)=
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k} {(1+a)^{k+1}}e^{itk} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{1+a}\sum_{k=0}^{\infty} ft(\frac{a}{1+a}e^{it}\right)^k= \frac{1}{1+a} \frac{1}{1-\frac{a}{1+a}e^{it}}=\frac{1}{1+a-ae^{it}}}\)
ogólny wzór na k-ty moment zwykły:
\(\displaystyle{ EX^k=(-i)^k \Phi ^{(k)}(0)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi ^{(k)}(t)}\) oznacza k-tą pochodną
\(\displaystyle{ EX}\) - pierwszy moment zwykły
\(\displaystyle{ D^2X=EX^2-(EX)^2}\)
\(\displaystyle{ EX^2}\) - drugi moment zwykły
\(\displaystyle{ \Phi (t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{itk} P(X=k)=
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k} {(1+a)^{k+1}}e^{itk} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{1+a}\sum_{k=0}^{\infty} ft(\frac{a}{1+a}e^{it}\right)^k= \frac{1}{1+a} \frac{1}{1-\frac{a}{1+a}e^{it}}=\frac{1}{1+a-ae^{it}}}\)
ogólny wzór na k-ty moment zwykły:
\(\displaystyle{ EX^k=(-i)^k \Phi ^{(k)}(0)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi ^{(k)}(t)}\) oznacza k-tą pochodną
\(\displaystyle{ EX}\) - pierwszy moment zwykły
\(\displaystyle{ D^2X=EX^2-(EX)^2}\)
\(\displaystyle{ EX^2}\) - drugi moment zwykły