rzut kostką, prawd. warunkowe

[Mixture00]

Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawd. tego, że suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 10. Jakie jest prawd., jeśli w pierwszym rzucie wypadło: a) 5 oczek, b) 1 oczko.


P(A) = ? Ile tutaj wynosi Moc Omegi ? 6*6 ?
A Moc Zd. A nie powinno być \(\displaystyle{ {6 \choose 1}* {6 \choose 4}}\) ? Wynik mi nawet tutaj zły wychodzi... A P(A|B) już w ogóle czarna magia...

[Lider Artur]

\(\displaystyle{ \Omega=\{(x,y): x,y \in \{1,...,6\}\}}\)
Zatem \(\displaystyle{ |\Omega|=6^2=36}\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) jakie nas interesuje to jest:
\(\displaystyle{ A=\{(x,y): x+y<10 \wedge x,y \in \{1,...,6\}\}}\)

Zastanówmy się, jak wygląda zdarzenie przeciwne, tj:
\(\displaystyle{ A'=\{(x,y): x+y \ge 10 \wedge x,y \in \{1,...,6\}\}}\)
Czyli \(\displaystyle{ A'=\{(4,6);(5,5);(6,6);(5,6),(6,5)(6;4)\}}\)

Zatem \(\displaystyle{ P(A')= \frac{|A'|}{|\Omega|}= \frac{6}{36}}\)

I teraz \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=\frac{30}{36}}\)

Pomyśl jak z warunkowym

[Mixture00]

Zdarzenie A ma być mniejsze od 10, a nie większe... P(A) już udało mi się obliczyć, bo jest 30 opcji, w których sumy oczek będą mniejsze od 10, więc \(\displaystyle{ P(A)= \frac{30}{36}= \frac{5}{6}}\). A jak działa to warunkowe to w ogóle nie wiem... Jest wzór, tak ? No i teraz jak mam obliczyć \(\displaystyle{ P(A \cap B) ?}\) Schematem Bernoulliego ?

[Lider Artur]

\(\displaystyle{ P(A | B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)
Nasze zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) pozostaje bez mian, zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) - wyrzucenie odpowiednio albo 5 albo 1 oczka.

[Mixture00]

Czyli P(B)= \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) ? A jak obliczyć to \(\displaystyle{ P(A \cap B) ?}\)

[Lider Artur]

Tak, \(\displaystyle{ P(B)}\) jest dobrze.
A teraz zastanówmy się co to jest \(\displaystyle{ A \cap B}\).
\(\displaystyle{ A}\) - suma oczek jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 10}\)
\(\displaystyle{ B}\) - za pierwszym razem wyrzuciliśmy \(\displaystyle{ 5}\)

Więc \(\displaystyle{ A \cap B=\{(5,1);(5,2);(5,3);(5,4)\}}\)
A więc \(\displaystyle{ P(A| B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{ \frac{4}{36} }{ \frac{1}{6}}= \frac{4}{6}}\).

W przypadku, gdy za pierwszym razem wyrzuciliśmy \(\displaystyle{ 1}\) odpowiedź jest oczywista. Znasz ją? Zastanów się jak wygląda wtedy \(\displaystyle{ A \cap B}\).

[Mixture00]

Wtedy \(\displaystyle{ P(B)=1}\), więc \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) powinno chyba się równać \(\displaystyle{ 1}\)... Bo z 1 wszystko będzie mniejsze od 10...

[Lider Artur]

Pierwsza cześć jest źle. Nadal \(\displaystyle{ P(B) \frac{1}{6}}\).
Ale

Bo z 1 wszystko będzie mniejsze od 10...

jest jak najbardziej poprawne myślenie.
A więc \(\displaystyle{ P(A| B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{ \frac{6}{36} }{ \frac{1}{6}}= 1}\)
Czyli zawsze suma będzie mniejsza niż 10

[Mixture00]

Ok, opornie mi to prawdopodobieństwo idzie, ale dzięki za pomoc