Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max484
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 paź 2011, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: max484 »

W szafce są 3 pary kaloszy w 3 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów wyjął z szafki kalosze i łączy je w pary. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa ?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: mat_61 »

Wskazówka:

1. Ile jest wszystkich możliwych par?
2. Ile wśród nich jest takich zestawów par, że każda z nich jest różnokolorowa.
max484
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 paź 2011, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: max484 »

a więc mam takie rozwiązanie ze wszytkich możliwych wyników jest n! czyli 6
\(\displaystyle{ A}\) - żadna para nie jest w 1 kolorze.
\(\displaystyle{ A}\)' - co najmniej jedna para jest w kolorze
\(\displaystyle{ A _{1}}\) - 1 para w kolorze
\(\displaystyle{ A _{} 2}\) - 2 pary w kolorze
\(\displaystyle{ A _{} 3}\) - 3 pary w kolorze

\(\displaystyle{ P\left( A _{} 1 \cup A _{} 2 \cup A _{} 3\right)=P(A _{} 1)+P(A _{} 2)+P(A _{}3)-P(A _{} 1 \cap A _{} 2)P(A _{} 1 \cap A _{} 3)P(A _{} 2 \cap A _{} 3)+P(A _{} 1 \cap A _{} 2 \cap A _{} 3)= \frac{2+2+2-1-1-1+1}{6}= \frac{4}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{2}{3}= \frac{1}{3}}\)

chciałbym aby ktoś mi napisał jak obliczyć tą 1 pare, 2 pary, 3 pary bez rozpisywania
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: mat_61 »

Jeżeli żadna para nie ma być jednokolorowa, to dla dowolnego lewego buta można wybrać jeden z dwóch butów prawych. Pozostałe dwie pary są wóczas jednoznacznie określone, czyli takich zestawów mamy 2.

Najprościej po prostu wypisać te możliwości:

\(\displaystyle{ A=\left\{ \left\{ \left\{ A1;B2\right\},\left\{ B1;C2\right\},\left\{ C1;A2\right\} \right\} ,\left\{ \left\{ A1;C2\right\},\left\{ B1;A2\right\},\left\{ C1;B2\right\} \right\}\right\}}\)
max484
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 paź 2011, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: max484 »

no wiem ale chciałbym wiedzieć jak to obliczyć jak będziemy mieli dużo tych par że wypisanie zajęłoby nam zbyt dużo czasu
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: mat_61 »

No to tak jak napisałaś jest OK.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2011, o 00:13 przez mat_61, łącznie zmieniany 1 raz.
max484
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 paź 2011, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: max484 »

chodzi mi o to że nie rozumiem tego na przykład:
\(\displaystyle{ A1}\) 1 para jest w kolorze
w odpowiedzi takich możliwości jest 2 a ja widzę 3:
\(\displaystyle{ \left\{A1,A2 \right\} \left\{B1,C2 \right\} \left\{ B2;C1\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{A1,B2 \right\} \left\{A1,B2 \right\} \left\{ C1;C2\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{A1,C2 \right\} \left\{B1,B2 \right\} \left\{ A2;C1\right\}}\)



nastepnie sa 2 pary w kolorze i też nie rozumiem bo skoro są 2 kolorze to 3 chyba tez musi być.
i trzeci punkt czyli 3 pary w kolorze to dla mnie jest tylko jedna możliwość.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: mat_61 »

Chyba źle zrozumiałaś/łeś(*) te zapisy:

Te liczby 1, 2, 3 nie oznacza jednej, dwóch i trzech par, tylko pierwszą, drugą i trzecią.

Czyli pierwsza para w kolorze oznacza, że jest \(\displaystyle{ \left\{ A1;A2\right\}}\) i dowolne pozostałe możliwości połączenia lewego kalosza z prawym, co daje dwa warianty:

\(\displaystyle{ \left\{ A1;A2\right\} \ \left\{ B1; B2\right\} \ \left\{ C1;C2\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ A1;A2\right\} \ \left\{ B1; C2\right\} \ \left\{ C1;B2\right\}}\)

Czy takie wyjaśnienie Ci wystarczy?

(*) znaczek wskazuje na ..łaś a Twój post:
max484 pisze:no wiem ale chciałbym wiedzieć
na ...łeś
max484
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 12 paź 2011, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: max484 »

czyli te jedynki tzn część wspólna oznacza powtarzająca się we wszystkich przypadkach ta możliwość:
\(\displaystyle{ \left\{A1,A2 \right\} \left\{B1,B2 \right\} \left\{ C1;C2\right\}}\)
??
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa

Post autor: mat_61 »

Tak.
Ponieważ dla trzech par mamy tak, że np. \(\displaystyle{ \left( A1 \cap A2\right)}\)(*) oznacza, że pierwsza i druga para są w kolorze, co jest równoznaczne z tym, że trzecia para też musi być w kolorze. Analogicznie będzie dla dwóch pozostałych "dwójek" oraz dla trzech par w kolorze.

Oczywiście dla większej ilości \(\displaystyle{ n}\) par ten sam "układ" będzie się powtarzał dla \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ n-1}\) par, bo jeżeli wszystkie pary z wyjątkiem jednej są w kolorze to także ta ostatnia para musi być w kolorze.

(*) Weź w tym wyjaśnieniu pod uwagę to, że we wcześniejszych postach \(\displaystyle{ A1}\) oraz \(\displaystyle{ A2}\) raz oznaczają dwa kalosze z pierwszej pary \(\displaystyle{ \left\{ A1;A2\right\}}\) , natomiast innym razem oznaczają dwa zdarzenia (\(\displaystyle{ A1:}\) pierwsza para w kolorze, oraz \(\displaystyle{ A2}\): druga para w kolorze) co może wprowadzać do wątku pewne zamieszanie, ale myślę, że samo wyjaśnienie jest zrozumiałe?
ODPOWIEDZ