Prawdopodobieństwo całkowite - Kowalscy, Nowakowie

[goldenka]

Na dziesiątym piętrze pewnego bloku mieszkają Kowalscy i Nowakowie. Kowalscy mają dwóch synów i dwie córki natomiast Nowakowie 1 syna i 2 córki. Postanowili oni wybrać młodzieżowego przedstawiciela swojego piętra. W tym celu Kowalscy wybrali losowo jedno ze swoich dzieci i Nowakowie jedno ze swoich. Następnie spośród tej dwójki wylosowano jedną osobę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedstawicielem został chłopiec.

No to ja to robiłam tak:
K - p-stwo że dziecko Kowalskich zostało przedstawicielem
N- p-stwo że dziecko Nowaków zostało przedstawicielem
A - p-stwo, że został wybrany chłopiec
\(\displaystyle{ P(K)=\frac{4}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(N)=\frac{3}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(A|K)*P(K)+P(A|N)*P(N)=\frac{1}{2}*\frac{4}{7}+\frac{1}{3}*\frac{3}{7}=\frac{3}{7}}\)
Niestety yen wynik jest zły bowiem powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\). Co robię źle? Thx za pomoc.

[bartholdy]

\(\displaystyle{ N}\) - zdarzenie, że wylosujemy Nowaków.
\(\displaystyle{ K}\) - zdarzenie, że wylosujemy Kowalskich.
\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie, że wylosujemy chłopca.

\(\displaystyle{ P(C/N) = \frac{1}{3}\qquad P(C/K) = \frac{1}{2}\\
P(N) = \frac{1}{2} \qquad P(K) = \frac{1}{2}\\
P(C) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{12}}\)

[wb]

\(\displaystyle{ B_1}\) - syn K. i syn N.
\(\displaystyle{ B_2}\) - syn K. i córka N.
\(\displaystyle{ B_3}\) -corka K. i syn N.
\(\displaystyle{ B_4}\) - córka K. i córka N.
\(\displaystyle{ A}\) - chłopiec
\(\displaystyle{ p(B_1)=\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3} \\ p(B_2)=\frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3} \\ p(B_3)=\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3} \\ p(B_4)=\frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3} \\ p(A)=p(B_1)\cdot 1+p(B_2)\cdot \frac{1}{2}+p(B_3)\cdot \frac{1}{2}+p(B_4)\cdot 0=\frac {5}{12}}\)

[goldenka]

Bartholdy: czemu P(N) i P(K) = 0,5 ? Myślałam że p-stwo wylosowania dziecka Nowaków to tak, jakbym spośród siedmiorga dzieci losowała 3 małych Nowaków i analogicznie p-stwo wylosowania dziecka Kowalskich jest takie jakbyś spośród wszystkich 7 dzieciaków wylosowała 4 Kowalskich.

[ja_czyli_kluska]

Następnie spośród tej dwójki wylosowano jedną osobę.

[bartholdy]

W przypadku gdybyś losowała z grupy dzieci, to co mówisz byłoby prawdziwe. Dla przykładu, są w sali Nowakowie i Kowalscy, losujesz spośród siedmiorga, jedno dziecko Nowaków to wtedy faktycznie, prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest \(\displaystyle{ \frac{3}{7}}\). W problemie, który zadałaś jest inna sytuacja - w każdej rodzinie odbywa się losowanie a na końcu mamy dwie propozycję. Jedna Nowaków oraz jedna Kowalskich - mamy dwa elementy z których losujemy jeden, więc prawdopodobieństwo jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Mam nadzieje, że udało mi się to wyjaśnić Jeśli nie to śmiało pytaj.

[goldenka]

Dzięki batholdy!:) Już rozumiem:)