Zad 1
Żarówki są sprzedawane w opakowaniach po 6 sztuk. Prawdopodobieństwo, że pojedyncza żarówka jest dobra wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w jednym opakowaniu znajdą się co najmniej 4 żarówki. O ile zdarzy się prawdodobieństwo tego zdarzenia, jeśli jedna, wylosowana z opakowania żarówka, okazała się dobra.
PS. Pierwszy podpunkt rozwiązałam a to będzie \(\displaystyle{ \frac{496}{729}}\) natomiast nie wiem jak zrobić ten drugi, powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{496}{728*729}}\)
Zad 2
Dwóch strzelców strzela niezależnie do tego samego celu niezależnie od siebie. Pierwszy strzelec trafia za każdym razem z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) i oddaje 2 strzały, a drugi trafia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i oddaje 5 strzałów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony dokładnie 3 razy.
Odp:\(\displaystyle{ \frac{35}{144}}\)
Zad 3
Wylosowano ze zwracaniem 4 liczby 4-cyfrowe (cyfra tysięcy nie może być zerem!). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwie z tych liczb czytane od strony lewej do prawej lub od strony prawej do lewej będą podzielne przez 4.
Odp: \(\displaystyle{ \frac{425}{768}}\)
3 zadania z prawdopodobieństwa (schemat bernoulliego)
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
3 zadania z prawdopodobieństwa (schemat bernoulliego)
Przeredaguj pierwsze zadanie, bo nie jest jasne wszystko (np. "że w jednym opakowaniu znajdą się co najmniej 4 żarówki.").
Zad.2.
\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie, że cel zostanie trafiony 3 razy.
Kolejno obliczam prawdopodobieństwo trafienia pierwszego \(\displaystyle{ (1^\circ)}\) strzelca i drugiego \(\displaystyle{ (2^\circ)}\) w \(\displaystyle{ k}\) próbach.
\(\displaystyle{ 1^\circ \\ P_2(2) = {2 \choose 2}(\frac{2}{3})^2\cdot(1-\frac{2}{3})^0 = \frac{4}{9}\\
P_2(1) = \frac{4}{9}\\
P_2(0) = \frac{1}{9}\\
\\
2^\circ \\P_5(1) = {5 \choose 1}(\frac{1}{2})^1\cdot(1-\frac{1}{2})^4 = \frac{5}{32}\\
P_5(2) = \frac{10}{32}\\
P_5(3) = \frac{10}{32}\\}\)
Teraz, aby cel został trafiony 3 razy, muszą zajść trafienia...
\(\displaystyle{ 1^\circ,1^\circ,2^\circ\\
1^\circ,2^\circ,2^\circ\\
2^\circ,2^\circ,2^\circ}\)
to jest, strzelec \(\displaystyle{ 1^\circ}\) musi trafić \(\displaystyle{ 2}\) razy i strzelec \(\displaystyle{ 2^\circ}\) musi trafić \(\displaystyle{ 1}\) raz idt.
Gdy drugi strzelec trafi trzy razy, pierwszy musi trafić zero razy, pierwszy dwa, drugi jeden, pierwszy jeden, drugi dwa i tak...
\(\displaystyle{ P(C) = P_5(3)\cdot P_2(0) + P_5(2)\cdot P_2(1) + P_5(1)\cdot P_2(2) = \frac{35}{144}}\)
Zad.3.
Co do zadania trzeciego, wszyskich liczb 4 cyfrowych spełniających warunek, że na końcu i na początku nie stoi \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ 9\cdot 10\cdot 10\cdot 9 = 8100}\). Liczby czytane od lewej do prawej, podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) i spełniające w.w. warunki to kombinacje liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\) (z małym wyjątkiem)...
Z liczb \(\displaystyle{ N = \{12,16,20,24,28...96\}}\) możemy utworzyć liczby takie jak \(\displaystyle{ 2112, 6116, 9604...}\).
Każdej liczbie dobieramy drugą dowolną z naszego zbioru \(\displaystyle{ N}\), więc utworzymy \(\displaystyle{ 20^2}\) liczb spełniających warunki zadania. Chociaż liczb w tym ciągu jest \(\displaystyle{ 22}\) to są dwa wyjątki które odjąłem, mianowicie \(\displaystyle{ 20}\) oraz \(\displaystyle{ 60}\), bo np.\(\displaystyle{ 2002}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\).
P.S. Na przyszłość: chyba lepiej jakbyś umieszczała każde zadanie w osobnym temacie, szczególnie gdy jednak wymagają trochę pisania
Zad.2.
\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie, że cel zostanie trafiony 3 razy.
Kolejno obliczam prawdopodobieństwo trafienia pierwszego \(\displaystyle{ (1^\circ)}\) strzelca i drugiego \(\displaystyle{ (2^\circ)}\) w \(\displaystyle{ k}\) próbach.
\(\displaystyle{ 1^\circ \\ P_2(2) = {2 \choose 2}(\frac{2}{3})^2\cdot(1-\frac{2}{3})^0 = \frac{4}{9}\\
P_2(1) = \frac{4}{9}\\
P_2(0) = \frac{1}{9}\\
\\
2^\circ \\P_5(1) = {5 \choose 1}(\frac{1}{2})^1\cdot(1-\frac{1}{2})^4 = \frac{5}{32}\\
P_5(2) = \frac{10}{32}\\
P_5(3) = \frac{10}{32}\\}\)
Teraz, aby cel został trafiony 3 razy, muszą zajść trafienia...
\(\displaystyle{ 1^\circ,1^\circ,2^\circ\\
1^\circ,2^\circ,2^\circ\\
2^\circ,2^\circ,2^\circ}\)
to jest, strzelec \(\displaystyle{ 1^\circ}\) musi trafić \(\displaystyle{ 2}\) razy i strzelec \(\displaystyle{ 2^\circ}\) musi trafić \(\displaystyle{ 1}\) raz idt.
Gdy drugi strzelec trafi trzy razy, pierwszy musi trafić zero razy, pierwszy dwa, drugi jeden, pierwszy jeden, drugi dwa i tak...
\(\displaystyle{ P(C) = P_5(3)\cdot P_2(0) + P_5(2)\cdot P_2(1) + P_5(1)\cdot P_2(2) = \frac{35}{144}}\)
Zad.3.
Co do zadania trzeciego, wszyskich liczb 4 cyfrowych spełniających warunek, że na końcu i na początku nie stoi \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ 9\cdot 10\cdot 10\cdot 9 = 8100}\). Liczby czytane od lewej do prawej, podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) i spełniające w.w. warunki to kombinacje liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\) (z małym wyjątkiem)...
Z liczb \(\displaystyle{ N = \{12,16,20,24,28...96\}}\) możemy utworzyć liczby takie jak \(\displaystyle{ 2112, 6116, 9604...}\).
Każdej liczbie dobieramy drugą dowolną z naszego zbioru \(\displaystyle{ N}\), więc utworzymy \(\displaystyle{ 20^2}\) liczb spełniających warunki zadania. Chociaż liczb w tym ciągu jest \(\displaystyle{ 22}\) to są dwa wyjątki które odjąłem, mianowicie \(\displaystyle{ 20}\) oraz \(\displaystyle{ 60}\), bo np.\(\displaystyle{ 2002}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\).
P.S. Na przyszłość: chyba lepiej jakbyś umieszczała każde zadanie w osobnym temacie, szczególnie gdy jednak wymagają trochę pisania