Witam, na początku przyznam, że prawdopodobieństwo nie jest moją najmocniejszą stroną, a zadania, z którymi przyszło mi się zmierzyć kompletnie mi nie leżą, dlatego postanowiłem poprosić fachowców o pomoc.
Zad. 1.
Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia:
a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C;
b) zachodzą dokładnie dwa zdarzenia spośród A, B, C;
c) zachodzą co najmniej dwa zdarzenia spośród A, B, C;
d) zajdą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C.
Zad. 2.
W partii 2n sztuk zegarków k chodzi do tyłu. Jak zapakować je do dwóch paczek po n sztuk w taki sposób, aby szansa wykrycia przez kontrolera wadliwych egzemplarzy była jak najmniejsza? Kontroler wybiera 1 sztukę z losowo wyznaczonej paczki.
P.S. Z tego co mi się wydaję to zapakowanie nie ma tu znaczenia większego, tylko nie mam pojęcia jak to zapisać.
Zad. 3.
Z przedziału (0,2) wybrano losowo dwie liczby x, y. Niech A oznacza zdarzenie, że x/y ≥ 1 , B - zdarzenie, że x� + y� ≤ 1 , zaś C - zdarzenie, że y > x�.
a) zbadać niezależność zdarzeń A, B;
b) wyznaczyć P(C);
c) Zbadać niezależność A, B, C.
Z góry dzięki.
zapis zdarzeń losowych, wadliwe egzemplarze
zapis zdarzeń losowych, wadliwe egzemplarze
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2007, o 10:04 przez diabang, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Puzon
- Użytkownik
- Posty: 130
- Rejestracja: 13 sty 2007, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stary i Nowy Sącz
- Pomógł: 20 razy
zapis zdarzeń losowych, wadliwe egzemplarze
zad 1
a)\(\displaystyle{ (A\cup B\cup C)\setminus [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]}\)
b)\(\displaystyle{ [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]\setminus (A\cap B\cap C)}\)
c)\(\displaystyle{ [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]}\)
d)\(\displaystyle{ (A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)}\)
zad2
wśród k uszkodzonych wprowadźmy dodatkowe r nie większe od k
wtedy mamy\(\displaystyle{ r\leq k\leq 2n}\)
załóżmy że do jednej paczki trafia r uszkodzonych wtedy do drugiej k-r
w każdej paczce jest po n sztuk i wybranie do kontroli dowolnej z paczek jest jednakowe, więc prawdopodobieństwo wybrania uszkodzonego jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{r}{n} + \frac{1}{2} \frac{k - r}{n} = \frac{1}{2} \frac{r + k - r}{n} = \frac{1}{2} \frac{k}{n} = \frac{k}{2n}}\) zatem nie ma znaczenia jak rozdzielimy k uszkodzonych
zad3.
wybierając x i y z przedziału (0, 2) możemy zadanie traktować jak wybór punktu (x,y) z Ω która jest kwadratem o boku 2 (czyli wygodnie zrobić to w ukł. wsp) wtedy
A --> x/y ≥ 1 czyli x ≥ y to obszar w kwadracie na i poniżej linii y=x (przekątnej z (0, 0) do (2, 2)) i dlatego \(\displaystyle{ P(A)=0,5}\)
B --> x� + y� ≤ 1 to koło K o środku w (0, 0) i promieniu 1, w naszej kwadratowej Ω tego koła jest tylko ćwierć, stąd \(\displaystyle{ P(B)=\frac {\frac{1}{4}\pi 1^2}{4} = \frac{\pi}{16}}\)
(przez 4 bo to jest pole Ω)
niezależność A i B to związek \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\)
zatem co to jest \(\displaystyle{ A\cap B}\) (część wpólna)?,
to jest 1/8 naszego koła K, zatem lewa strona \(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{\frac{1}{8}\pi 1^2}{4}=\frac{\pi}{32}}\)
a prawa strona \(\displaystyle{ P(A)P(B)=\frac{1}{2} \frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{32}}\)
czyli A i B są niezależne
ze zdarzeniem C jest najwięcej zamieszania, ponieważ trzeba zaznaczyć w Ω obszar powyżej wykresu y=x� i następnie go przecałkować by wyliczyć pole jakie zajmuje
no i ostatnim podpunkcie również całeczka z pola ograniczonego
y=x ; y=x� ; K
ale obszar między y=x i y=x� w całości zawiera się w K więc tylko y=x i y=x� wystarczy do obliczenia pola,
jak będą problemy ze zrobieniem to odpowiednie rysunki i obliczenia dodam, ale jutro bo jest już 2:15
=======||=======
a teraz jest już 2:30 bo 15 min poprawiałem błędy które się wkradły podczas pisania
a)\(\displaystyle{ (A\cup B\cup C)\setminus [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]}\)
b)\(\displaystyle{ [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]\setminus (A\cap B\cap C)}\)
c)\(\displaystyle{ [(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup (A\cap C)]}\)
d)\(\displaystyle{ (A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)}\)
zad2
wśród k uszkodzonych wprowadźmy dodatkowe r nie większe od k
wtedy mamy\(\displaystyle{ r\leq k\leq 2n}\)
załóżmy że do jednej paczki trafia r uszkodzonych wtedy do drugiej k-r
w każdej paczce jest po n sztuk i wybranie do kontroli dowolnej z paczek jest jednakowe, więc prawdopodobieństwo wybrania uszkodzonego jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{r}{n} + \frac{1}{2} \frac{k - r}{n} = \frac{1}{2} \frac{r + k - r}{n} = \frac{1}{2} \frac{k}{n} = \frac{k}{2n}}\) zatem nie ma znaczenia jak rozdzielimy k uszkodzonych
zad3.
wybierając x i y z przedziału (0, 2) możemy zadanie traktować jak wybór punktu (x,y) z Ω która jest kwadratem o boku 2 (czyli wygodnie zrobić to w ukł. wsp) wtedy
A --> x/y ≥ 1 czyli x ≥ y to obszar w kwadracie na i poniżej linii y=x (przekątnej z (0, 0) do (2, 2)) i dlatego \(\displaystyle{ P(A)=0,5}\)
B --> x� + y� ≤ 1 to koło K o środku w (0, 0) i promieniu 1, w naszej kwadratowej Ω tego koła jest tylko ćwierć, stąd \(\displaystyle{ P(B)=\frac {\frac{1}{4}\pi 1^2}{4} = \frac{\pi}{16}}\)
(przez 4 bo to jest pole Ω)
niezależność A i B to związek \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\)
zatem co to jest \(\displaystyle{ A\cap B}\) (część wpólna)?,
to jest 1/8 naszego koła K, zatem lewa strona \(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{\frac{1}{8}\pi 1^2}{4}=\frac{\pi}{32}}\)
a prawa strona \(\displaystyle{ P(A)P(B)=\frac{1}{2} \frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{32}}\)
czyli A i B są niezależne
ze zdarzeniem C jest najwięcej zamieszania, ponieważ trzeba zaznaczyć w Ω obszar powyżej wykresu y=x� i następnie go przecałkować by wyliczyć pole jakie zajmuje
no i ostatnim podpunkcie również całeczka z pola ograniczonego
y=x ; y=x� ; K
ale obszar między y=x i y=x� w całości zawiera się w K więc tylko y=x i y=x� wystarczy do obliczenia pola,
jak będą problemy ze zrobieniem to odpowiednie rysunki i obliczenia dodam, ale jutro bo jest już 2:15
=======||=======
a teraz jest już 2:30 bo 15 min poprawiałem błędy które się wkradły podczas pisania