Zadanie 1) Ile co najmniej dzieci powinno się urodzić aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było orzec że przybyło co najmniej 100 chłopców. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca w jednej próbie to 0,52.
---
Chyba zaczynam rozumieć na czym polegają studia po przejrzeniu 3 książek i z każdej wyciągnięcia stosownych wniosków (niekiedy wykluczających się) w końcu ogarnąłem
Proszę o sprawdzenie
---
W zadaniu skorzystamy z CTG - wariant Levyego-lindberga
Zaczynam
\(\displaystyle{ p = 0,52 \\ \\
q = 0,48 \\ \\
\sigma = \frac{2 \sqrt{39n} }{25} \approx 0,5 n \\ \\
m = 0,52 n}\)
Dotąd chyba wszystko jasne?
Oznaczamy
\(\displaystyle{ X_{n}=1}\) urodził się chłopiec
\(\displaystyle{ X_{n}=0}\) urodziła się dziewczynka
Wobecz czego \(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{n=1}^{k} X_{n}}\)
Szukamy \(\displaystyle{ P ( S_{n} \ge 100) = 0,95}\)
Wprowadzam nową zmienna losową U - która jest standaryzowaniem zmiennej Sn
\(\displaystyle{ P ( S_{n} \ge 100) = 1 -P ( S_{n} \le 100) = 1- P ( U \le \frac{100-0,5n}{0,5 \sqrt{n} } )}\)
Przejdę na dystrybuantę rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ 1 - \Phi ( \frac{100-0,5n}{0,5 \sqrt{n}}) = 0,95}\)
\(\displaystyle{ \Phi ( \frac{100-0,5n}{0,5 \sqrt{n}}) = 0,05 \\}\)
No i pojawia się problem numer jeden - tego nie odczytam z tablic - ale przecież można skorzystać z własności
\(\displaystyle{ \Phi ( \frac{0,5n-100}{0,5 \sqrt{n}}) = 0,95}\)
stąd \(\displaystyle{ \frac{0,5n-100}{0,5 \sqrt{n}} = 1,65}\)
Po przekształceniu dostaje zwykłe równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 0,5t^2 - 0,824t -100=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ t = \sqrt{n}}\)
Jedynym mającym sens pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ t \approx 15}\)
Wobec tego nasze \(\displaystyle{ n = 225}\)
Rozwiązanie wydaje się zgodne z intuicją - skoro prawd urodzenia chłopca to troszkę więcej niż pół - to żeby z dużym prawd powiedzieć ze urodziło się ich 100 - musi urodzić się ponad 200 dzieci
P.s: Przepraszam za "łopatologię" ale chciałem żeby jeśli jakiś student wy googluje to zadanko to aby nie zmarnował swojego czasu ( zakładając że to co napisałem ma sens - sprawdźcie )